2015年高考湖北省理数卷

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题。全卷满分150分。考试用时120分钟。★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．i为虚数单位，607i的共轭．．复数．．为A．iB．iC．1D．12．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A．134石B．169石C．338石D．1365石3．已知(1)nx的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A．122B．112C．102D．924．设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是A．21()()PYPYB．21()()PXPXC．对任意正数t，()()PXtPYtD．对任意正数t，()()PXtPYt5．设12,,,naaaR，3n.若p：12,,,naaa成等比数列；q：22222221212312231()()()nnnnaaaaaaaaaaaa，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件6．已知符号函数1,0,sgn0,0,1,0.xxxx()fx是R上的增函数，()()()(1)gxfxfaxa，则A．sgn[()]sgngxxB．sgn[()]sgngxxC．sgn[()]sgn[()]gxfxD．sgn[()]sgn[()]gxfx7．在区间[0,1]上随机取两个数,xy，记1p为事件“12xy”的概率，2p为事件“1||2xy”的概率，3p为事件“12xy”的概率，则A．123pppB．231pppC．312pppD．321ppp8．将离心率为1e的双曲线1C的实半轴长a和虚半轴长()bab同时增加(0)mm个单位长度，得到离心率为2e的双曲线2C，则A．对任意的,ab，12eeB．当ab时，12ee；当ab时，12eeC．对任意的,ab，12eeD．当ab时，12ee；当ab时，12ee9．已知集合22{(,)1,,}AxyxyxyZ，{(,)||2,||2,,}BxyxyxyZ，定义集合12121122{(,)(,),(,)}ABxxyyxyAxyB，则AB中元素的个数为A．77B．49C．45D．3010．设xR，[]x表示不超过x的最大整数.若存在实数t，使得[]1t，2[]2t，…，[]ntn第4题图同时成立．．．．，则正整数n的最大值是A．3B．4C．5D．6二、填空题：本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）11．已知向量OAAB，||3OA，则OAOB．12．函数2π()4coscos()2sin|ln(1)|22xfxxxx的零点个数为．13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CDm.14．如图，圆C与x轴相切于点(1,0)T，与y轴正半轴交于两点,AB（B在A的上方），且2AB．（Ⅰ）圆C的标准．．方程为；（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆22:1Oxy相交于,MN两点，下列三个结论：①NAMANBMB；②2NBMANAMB；③22NBMANAMB．其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，PA是圆的切线，A为切点，PBC是圆的割线，且3BCPB，则ABAC.16．（选修4-4：坐标系与参数方程）第13题图第14题图ABCDxOyTCNAMB第15题图APBC在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为(sin3cos)0，曲线C的参数方程为1,1xttytt(t为参数)，l与C相交于A,B两点，则||AB.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分11分）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x0π2π3π22πxπ35π6sin()Ax0550（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()fx的解析式；（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图象.若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.18．（本小题满分12分）设等差数列{}na的公差为d，前n项和为nS，等比数列{}nb的公比为q．已知11ba，22b，qd，10100S．（Ⅰ）求数列{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）当1d时，记nnnacb，求数列{}nc的前n项和nT．19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接,,,.DEDFBDBE（Ⅰ）证明：PBDEF平面．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为π3，求DCBC的值．20．（本小题满分12分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产,AB两种奶制品．生产1吨A产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产,AB两种产品时间之和不超过12小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z（单位：元）是一个随机变量．（Ⅰ）求Z的分布列和均值；（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．21．（本小题满分14分）一种作图工具如图1所示．O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且1DNON，3MN．当第19题图BADFECP栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）设动直线l与两定直线1:20lxy和2:20lxy分别交于,PQ两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：△OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分14分）已知数列{}na的各项均为正数，1(1)()nnnbnannN，e为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数()1exfxx的单调区间，并比较1(1)nn与e的大小；（Ⅱ）计算11ba，1212bbaa，123123bbbaaa，由此推测计算1212nnbbbaaa的公式，并给出证明；（Ⅲ）令112()nnncaaa，数列{}na，{}nc的前n项和分别记为nS,nT,证明：ennTS.第21题图1BADOMN第21题图2xDOMNy绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．A2．B3．D4．C5．A6．B7．B8．D9．C10．B二、填空题（本大题共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分）11．912．213．100614．（Ⅰ）22(1)(2)2xy；（Ⅱ）①②③15．1216．25三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（11分）（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A.数据补全如下表：x0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()Ax05050且函数表达式为π()5sin(2)6fxx.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6fxx，得π()5sin(22)6gxx.因为sinyx的对称中心为(π,0)k，kZ.令π22π6xk，解得ππ212kx，kZ.由于函数()ygx的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k，解得ππ23k，kZ.由0可知，当1k时，取得最小值π6.18．（12分）（Ⅰ）由题意有，111045100,2,adad即112920,2,adad解得11,2,ad或19,2.9ad故121,2.nnnanb或11(279),929().9nnnanb（Ⅱ）由1d，知21nan，12nnb，故1212nnnc，于是2341357921122222nnnT，①2345113579212222222nnnT.②①-②可得221111212323222222nnnnnnT，故nT12362nn.19．（12分）（解法1）（Ⅰ）因为PD底面ABCD，所以PDBC，由底面ABCD为长方形，有BCCD，而PDCDD，所以BCPCD平面.而DEPCD平面，所以BCDE.又因为PDCD，点E是PC的中点，所以DEPC.而PCBCC，所以DE平面PBC.而PBPBC平面，所以PBDE.又PBEF，DEEFE，所以PB平面DEF.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为DEBDEF，，EFBDFB，.（Ⅱ）如图1，在面PBC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ABCD的交线.由（Ⅰ）知，PBDEF平面，所以PBDG.又因为PD底面ABCD，所以PDDG.而PDPBP，所以DGPBD平面.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，设1PDDC，BC