2015年高考上海市理数卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．设全集UR．若集合1,2,3,4，23xx，则Uð．2．若复数z满足31zzi，其中i为虚数单位，则z．3．若线性方程组的增广矩阵为122301cc、解为35xy，则12cc．4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为163，则a．5．抛物线22ypx（0p）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p．6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为．7.方程1122log95log322xx的解为．8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．9.已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双曲线1C和2C．若1C的渐近线方程为3yx，则2C的渐近线方程为．10.设1fx为222xxfx，0,2x的反函数，则1yfxfx的最大值为．11.在10201511xx的展开式中，2x项的系数为（结果用数值表示）．12.赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1和2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12（元）．13.已知函数sinfxx．若存在1x，2x，，mx满足1206mxxx，且1223112nnfxfxfxfxfxfx（2m，m），则m的最小值为．14.在锐角三角形C中，1tan2，D为边C上的点，D与CD的面积分别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设1z，2Cz，则“1z、2z中至少有一个数是虚数”是“12zz是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．已知点的坐标为43,1，将绕坐标原点逆时针旋转3至，则点的纵坐标为（）A．332B．532C．112D．13217．记方程①：2110xax，方程②：2220xax，方程③：2340xax，其中1a，2a，3a是正实数．当1a，2a，3a成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．设,nnnxy是直线21nxyn（n）与圆222xy在第一象限的交点，则极限1lim1nnnyx（）A．1B．12C．1D．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）如图，在长方体1111CDCD中，11，D2，、F分别是、C的中点．证明1、1C、F、四点共面，并求直线1CD与平面11CF所成的角的大小.20.（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分如图，，，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过t小时，他们之间的距离为ft（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是C，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设1tt时乙到达C地.（1）求1t与1ft的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11tt时，求ft的表达式，并判断ft在1,1t上得最大值是否超过3？说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别于椭圆交于、和C、D，记得到的平行四边形CD的面积为S.（1）设11,xy，22C,xy，用、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明11212Sxyxy；（2）设1l与2l的斜率之积为12，求面积S的值.22.（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知数列na与nb满足112nnnnaabb，n.（1）若35nbn，且11a，求数列na的通项公式；（2）设na的第0n项是最大项，即0nnaa（n），求证：数列nb的第0n项是最大项；（3）设10a，nnb（n），求的取值范围，使得na有最大值与最小值m，且2,2m.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R的函数gx，若存在正常数，使得cosgx是以为周期的函数，则称gx为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知fx是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R.设fx单调递增，00f，4f.（1）验证sin3xhxx是以6为周期的余弦周期函数；（2）设ba．证明对任意,cfafb，存在0,xab，使得0fxc；（3）证明：“0u为方程cos1fx在0,上得解”的充要条件是“0u为方程cos1fx在,2上有解”，并证明对任意0,x都有fxfxf.上海数学（理工农医类）参考答案一、（第1题至第14题）1.1,42.1142i3.164.45.26.37.28.1209.32yyx10.411.4512.0.213.814.1615二、（第15至18题）题号15161718代号BDBA三、（第19至23题）19.解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A1(2，0，1)、C1(0，2，1)、E(2，1，0)、F（1，2,0）、C（0、2、0）、D（0,0,1）.因为)0,2,2(11CA，(1,1,0)EF，所以11//EFAC，因此直线1AC与EF共面，即，、、、四点共面.设平面EFCA11的法向量为(,,)nuvw，则n⊥EF，n⊥1FC，又(1,1,0)EF，1FC=(1,0,1),1A1CFE故0,u.0,uvvwuw解得取u=1，则平面EFCA11的一个法向量n=(1,1,1).又1(0,2,1)CD,故111515||CDnCDn因此直线与平面所成的角的大小1515arcsin.20.解：（1）138t，设乙到C时甲所在地为D，则AD=158千米。在△ACD中，2222cosCDACADACADA,所以13()418ftCD（千米）。（2）甲到达B用时1小时；乙到达C用时38小时，从A到B总用时78小时。当13788tt时，()ft；当718t时，()ft=5-5t.所以因为()ft在37,88上的最大值是33()4188f，()ft在7,18上的最大值是75()88f，所以()ft在3,18上的最大值是3418，不超过3.21.证：（1）直线111:0lyxxy，点C到的距离12122211yxxydxy、，1CDFECA1118422554)55)(87(2)55()87(222tttttt187,558783,184225)(2ttttttf1l21212||2||yxAOAB所以122112222ABCSSABdxyxy.（2）设1:lykx，则21:2lyxk，设1122(,),(,)AxyCxy.由21222,1x=.12k21,ykxxy得同理2222212kx==.12k1122k（-）由（1），21212212112xx2k1=22kx=xx2kkSxyxyx=2222k1)2,k1221kkk（整理得2S.22.解（1）由于13nnbb，得16nnaa，所以na是首项为1，公差为6的等差数列，故na的通项公式为56nan，*nN.证（2），得1122nnnnabab.所以2nnab为常数列，1122nnabab，即1122.nnabab因为0nnaa，*nN，所以001111nn2222,nnbabbabbb即.)(211nnnnbbaa故bn是第0n项是最大项。解：（3）因为b,nn所以112()nnnnaa当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa=11222()2()2()nnnn=2n.当n=1时，1a，符合上式.所以2nna.因为0，所以2212212,2.nnnnaa①当1时，由指数函数的单调性知，na不存在最大、最小值；②当1时，na的最大值为3，最小值为-1，而3(2,2);1③10时，由指数函数的单调性知，na的最大值222Ma，最小值1ma，由221221002及，得.综上，的取值范围是1(,0)2.23证明（1）易见()sin3xhxx的定义域为R,对任意6,(6)6sin()63xxRhxxhx，所以cos(6)cos(()6)cos()hxhxhx，即()hx是以6为余弦周期的余弦周期函数。（2）由于()fx的值域为R，所以对任意(),()cfafb，c都是一个函数值，即有0xR，使得0()fxc。若0xa，则由()fx单调递增得到0()()cfxfa，与(),()cfafb矛盾，所以.0xa，同理可证0xb.故存在0,xab使得0()fxc.（3）若0u为cos()1fx在0,T上的解，则,00cos()1,,2fuuTTT且,00cos()cos()1fuTfu,即0uT为方程cos()1fx在,2TT上的解.同理，若0uT为方程cos()1fx在,2TT上的解.则0u为该方程在0,T上的解.以下证明最后一部分结论.由（2）所证知存在012340,xxxxxT使得i()=ifx，i=0,1,2,3,4.而ii+1x,x是函数cos()fx的单调区间，i=0,1,2,3.与之前类似地可以证明：0u是cos()1fx在0,T上的解当且仅当0uT是cos()1fx在,2TT上的解.从而cos()1fx在0,T与,2TT上的解的个数相同.故()(x)4,0,1,2,3,4iifxTfi.对于10,,()0,,()4,5xxfxfxT.而cos()cos(),()()4()()fxTfxfxTfxfxfT做类似地,当1x,iixx，i=1,2,3时，有(