2015年高考上海市文数卷

2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数xxf2sin31)(的最小正周期为.2.设全集RU.若集合}4,3,2,1{A，}32|{xxB，则)(BCAU.3.若复数z满足izz13，其中i是虚数单位，则z.4.设)(1xf为12)(xxxf的反函数，则)2(1f.5.若线性方程组的增广矩阵为021321cc解为53yx，则21cc.6.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为316，则a.7.抛物线)0(22ppxy上的懂点Q到焦点的距离的最小值为1，则p.8.方程2)23(log)59(log1212xx的解为.9.若yx,满足020xyxyy，则目标函数2fxy的最大值为.10.在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11.在62)12(xx的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为13.已知平面向量a、b、c满足ba，且}3,2,1{|}||,||,{|cba，则||cba的最大值是14.已知函数xxfsin)(.若存在1x，2x，，mx满足6021mxxx，且12|)()(||)()(||)()(|13221mmxfxfxfxfxfxf),12(Nmm，则m的最小值为二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.设1z、C2z，则“1z、2z均为实数”是“21zz是实数”的（）.1C2C1C1422yx2C1C2CA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.下列不等式中，与不等式23282xxx解集相同的是（）.A.2)32)(8(2xxxB.)32(282xxxC.823212xxxD.218322xxx17.已知点A的坐标为)1,34(，将OA绕坐标原点O逆时针旋转3至OB，则点B的纵坐标为（）.A.233B.235C.211D.21318.设),(nnnyxP是直线)(12Nnnnyx与圆222yx在第一象限的交点，则极限11limnnnxy().A.1B.21C.1D.2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，已知2,1POOA，求三棱锥PAOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数21()fxaxx，其中a为常数(1)根据a的不同取值，判断函数()fx的奇偶性，并说明理由；(2)若(1,3)a，判断函数()fx在[1,2]上的单调性，并说明理由.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,OPQ三地有直道相通，3OP千米，4PQ千米，5OQ千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为()ft（单位：千米）.甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待.设1tt时，乙到达P地，2tt时，乙到达Q地.(1)求1t与1()ft的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12ttt时，求()ft的表达式，并判断()ft在12[,]tt上的最大值是否超过3？说明理由.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221xy，过原点的两条直线1l和2l分别与椭圆交于点A、B和C、D，记AOC的面积为S.(1)设1122(,),(,)AxyCxy，用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明122112Sxyxy；（2）设1:lykx，33,33C，13S，求k的值;(3)设1l与2l的斜率之积为m，求m的值，使得无论1l和2l如何变动，面积S保持不变.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列na与nb满足112(),*nnnnaabbnN.(1)若35,nbn且11a,求na的通项公式;(2)设na的第0n项是最大项,即0(*)nnaanN,求证:nb的第0n项是最大项;(3)设130a,(*)nnbnN,求的取值范围,使得对任意,*mnN，0na，且1,66mnaa答案一、（第1题至第14题）1.2.{1.4}3.1142i4.235.166.47.28.29.310.12011.24012.22144xy13.3514.8二、（第15题至第18题）15.A16.B17.D18.A三、（第19题至第23题）19.[解]1112323PAOCV因为ACOE,所以PAC为异面直线PA与OE所成的角或其补角由2,1POOAOC,得5PAPC,2AC在PAC中，由余弦定理得10cos10PAC,故异面直线PA与OE所成的角的大小为10arccos1020.[解]（1）()fx的定义域为{0,}xxxR,关于原点对称，2211()()fxaxaxxx，当0a时，()()fxfx为奇函数当0a时，由(1)1,(1)1fafa，知(1)(1)ff，故()fx即不是奇函数也不是偶函数。（2）设1221xx＜，则22212121122112111()()()()fxfxaxaxxxaxxxxxx，由1221xx＜，得21xx＞0，2＜12xx＜4,1＜12xx＜4，121141xx＜＜-，又1＜a＜3,所以2＜12()axx＜12,得12()axx-121xx＞0，从而21()()fxfx＞0，即21()()fxfx＞，故当(1,3)a时，()fx在[1,2]上单调递增。21.[解]（1）138t记乙到P时甲所在地为R，则OR=158千米。在OPR中，PR2=OP2+OR22OP·ORcosO,所以13()418ftPR（千米）（2）278t,如图建立平面直角坐标系。设经过t小时，甲、乙所在位置分别为M,N.当37,88t时，(3,4),N(3,83),Mttt222()(3t3)(4t3)254218fttt()ft在37,88上的最大值是334188f，不超过322.[证]（1）直线1l：0yxxy，点C到1l的距离12122211yxxydxy因为2211OAxy，所以12211122SOAdxyxy.[解]（2）由2221ykxxy,得212112xk由（1），12211123111332233612kSxyxyxkxk由题意，23113612kk，解得15k或-1[解]（3）设1l：ykx，则2l：myxk.设1,1A()xy,22C(,)xy由2221ykxxy，得212112xk同理222221212kxkmmk、由（1）,21212212112111222kmxmxSxyxyxkxxxkk=22222122kmkkm,整理得24222222(81)k(4162)k(81)0SSSmmSm由题意知S与k无关，则22281041620SSSmm，得21812Sm，所以12m23.[解](1)由13nnbb，得16nnaa，所以na是首项为1，公差为6的等差数列，故na的通项公式为na=65n,nN[证]（2）由112nnnnaabb，得1122nnnnabab所以2nnab为常数列，1122nnabab，即1122nnabab因为0nnaa，nN,所以011112222nnbabbab，即0nnbb故nb的第0n项是最大项[解]（3）因为nnb，所以112()nnnnaa，当2n时，n-1n-1n-2nnaaaaa+…+211aaa=11222nnnn…223=2n当1n时，13a，符合上式所以2nna因为13a＜0，且对任意nN,11,66naa，故na＜0，特别地2＜0于是1,02此时对任意nN，0na当12＜＜0时，2211212,a2nnnna，由指数函数的单调性知，na的最大值为2220a，最小值为13a，由题意，mnaa的最大值及最小值分别为12321aa。由21136及3216,解得104综上所述，的取值范围为1,04.