2015年高考文科数学专题复习题：选修专题二计数原理

重点难点突破（选修模块）专题二计数原理、概率第1讲计数原理(建议用时：45分钟)一、选择题1．(1－3x)5的展开式中x3的系数为()．A．－270B．－90C．90D．270解析(1－3x)5的展开式通项为Tr＋1＝Cr5(－3)rxr(0≤r≤5，r∈N)，当r＝3时，该项为T4＝C35(－3)3x3＝－270x3，故可得x3的系数为－270.答案A2．(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于()．A．－4B．－3C．－2D．－1解析(1＋ax)(1＋x)5中含x2的项为：(C25＋C15a)x2，即C25＋C15a＝5，即10＋5a＝5，解得a＝－1.答案D3．(2014·济南模拟)如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有()．A．11种B．20种C．21种D．12种解析当第一组开关有一个接通时，电路接通为C12(C13＋C23＋C33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C22(C13＋C23＋C33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.答案C4．(2014·长春一模)高三某班6名同学站成一排照相，同学甲、乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同的排法种数共有()．A．120B．240C．360D．480解析先将其他4名同学排好有A44种方法，然后将甲、乙两名同学插空，又甲、乙两人顺序一定且不相邻，有C25种方法，所以共有A44·C25＝240种排法．答案B5．(2014·丽水模拟)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有()．A．140种B．120种C．35种D．34种解析从7人中选4人共有C47＝35种方法，又4名全是男生的选法有C44＝1种．故选4人既有男生又有女生的选法种数为35－1＝34.答案D6．(2014·金华调研)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a0＋a1＋a3＋a5的值为()．A．122B．123C．243D．244解析在已知等式中分别取x＝0、x＝1与x＝－1，得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244，a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123，故选B.答案B7．(2014·郑州质检)在二项式x2－1xn的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()．A．32B．－32C．0D．1解析依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.因此，该二项展开式中的各项系数的和等于12－115＝0，选C.答案C8．设a∈Z，且0≤a13，若512012＋a能被13整除，则a的值为()．A．0B．1C．11D．12解析化51为52－1，用二项式定理展开求解．512012＋a＝(52－1)2012＋a＝C02012522012＋C12012522011×(－1)1＋…＋C20112012×52×(－1)2011＋C20122012×(－1)2012＋a.因为52能被13整除，所以只需C20122012×(－1)2012＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.答案D9．(2014·四川卷)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()．A．192种B．216种C．240种D．288种解析根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120(种)方法；第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96(种)方法．所以共有120＋96＝216(种)方法．答案B10．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有()．A．504种B．960种C．1008种D．1108种解析由题意得不同的安排方案共有A22(A66－2A55＋A44)＝1008(种)．答案C二、填空题11．(2013·安徽卷)若x＋a3x8的展开式中，x4的系数为7，则实数a＝________.解析Tr＋1＝Cr8x8－ra3xr＝arCr8x8－43r，由8－43r＝4得r＝3，由已知条件a3C38＝7，则a3＝18，a＝12.答案1212．在x＋13x24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有________项．解析Tr＋1＝Cr24(x12)24－r(x－13)r＝Cr24x12－5r6(0≤r≤24)∴r可取值为0,6,12,18,24，∴符合要求的项共有5项．答案513．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x2)＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.解析法一将f(x)＝x5进行转化，利用二项式定理求解．f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝Cr5(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C25(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.法二不妨设1＋x＝t，则x＝t－1，因此有(t－1)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝C25(－1)2＝10.答案1014．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为________．解析分两步：第一步先选3个人即C37＝7×6×53×2×1＝35.第二步3个人相互调整座位，有2种方法．∴35×2＝70.答案7015．(2014·潍坊模拟)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．解析若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C13×A22×C13＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×A22×C13＝18种．所以满足题意的分法共有18＋18＝36种．答案3616．(2014·温州适应性测试)将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则共有不同放法________种．解析对这3个盒子中所放的小球的个数情况进行分类计数：第一类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,2,6，此类放法有A33＝6种；第二类，这3个盒子中所放的小球的个数是1,3,5，此类放法有A33＝6种；第三类，这3个盒子中所放的小球的个数是2,3,4，此类放法有A33＝6种．因此满足题意的放法共有6＋6＋6＝18种．答案1817．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．解析将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A44种分法，∴不同的分法种类共有4A44＝96.答案9618．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴全运会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析先将6位志愿者分组，共有C26·C24A22种方法；再把各组分到不同场馆，共有A44种方法．由乘法原理知，不同的分配方案共有C26·C24A22·A44＝1080(种)．答案1080新课标第一网系列资料