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重点难点突破（选修模块）专题二计数原理、概率第2讲概率(建议用时：60分钟)一、选择题1．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()．A.45B.35C.25D.15解析基本事件的总数有C15C13＝15种，其中满足b＞a的有3种，所以b＞a的概率为315＝15.答案D2．(2014·陕西卷)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()．A.15B.25C.35D.45解析取两个点的所有情况为C25＝10，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为610＝35.故选C.答案C3．(2013·安徽卷)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为()．A.23B.25C.35D.910解析事件“甲或乙被录用”的对立事件是“甲和乙都未被录用”，从五位学生中选三人的基本事件个数为10.“甲和乙都未被录用”只有1种情况，根据古典概型和对立事件的概率公式可得，甲或乙被录用的概率P＝1－110＝910.答案D4．已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是()．A.14B.13C.23D.12解析取边BC上的中点D，由PB→＋PC→＋2PA→＝0，得PB→＋PC→＝2AP→，而由向量的中点公式知PB→＋PC→＝2PD→，则有AP→＝PD→，即P为AD的中点，则S△ABC＝2S△PBC，根据几何概型的概率公式知，所求的概率为12.答案D5．一名同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xOy中，以(x，y)为坐标的点落在直线2x＋y＝8上的概率为()．A.16B.112C.536D.19解析依题意，以(x，y)为坐标的点共6×6＝36个，其中落在直线2x＋y＝8上的点有(1,6)，(2,4)，(3,2)，共3个，故所求事件的概率P＝336＝112.答案B6．一个坛子里有编号为1,2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为()．A.122B.111C.322D.211解析基本事件总数为C212，事件包含的基本事件数为C26－C23，故所求的概率为P＝C26－C23C212＝211.答案D7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面AB1D1平行的概率为()．A.314B.514C.328D.528解析画出该长方体的直观图，可知与平面AB1D1平行的直线有BD，BC1，DC1，共3条，八个顶点任两点连线共有C28条，故该直线与平面AB1D1平行的概率为P＝3C28＝328.答案C二、填空题8．(2013·重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析三人站成一排有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种排法，其中甲、乙相邻有4种排法，所以甲、乙两人相邻而站的概率为46＝23.答案239．(2014·江西卷)10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________．解析从10件产品中取4件，共有C410种取法，取到1件次品的取法为C13C37种，由古典概型概率计算公式得P＝C13C37C410＝3×35210＝12.答案1210．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于________．解析设正六边形的6个顶点分别为A，B，C，D，E，F，则从6个顶点中任取4个顶点共有C46＝15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为15.答案1511．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析从5个球中任取2个球有C25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C13C12＝6(种)．故所求事件的概率P＝610＝35.答案3512．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率e5的概率是________．解析由e＝1＋b2a25，得b2a，当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝636＝16.答案16三、解答题13．(2013·辽宁卷)现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：(1)所取的2道题都是甲类题的概率；(2)所取的2道题不是同一类题的概率．解(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“都是甲类题”这一事件，则A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P(A)＝615＝25.(2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一类题”这一事件，则B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P(B)＝815.14．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．解(1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n＝C13×C13＝9种选法．记“2名教师性别相同”为事件A，则事件A包含基本事件数m＝C12·C11＋C11·C12＝4，∴P(A)＝mn＝49.(2)从报名的6人中任选2名，有n＝C26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B，则事件B包含基本事件数m＝2C23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P(B)＝615＝25.15．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2＋y2＝15的外部或圆上的概率．解由题意，先后掷2次，向上的点数(x，y)共有n＝6×6＝36种等可能结果，事件为古典概型．(1)记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为B.∵事件B包含的基本事件数m＝C13C13＝9.∴P(B)＝936＝14，则P(B)＝1－P(B)＝34，因此，两数中至少有一个奇数的概率为34.(2)点(x，y)在圆x2＋y2＝15的内部记为事件C，则C表示“点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)共有8个．∴P(C)＝836＝29，从而P(C)＝1－P(C)＝1－29＝79.故点(x，y)在圆x2＋y2＝15上或圆外部的概率为79.新课标第一网系列资料