2015年高考文科数学专题复习题：专题五　--- 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题

第2讲椭圆、双曲线、抛物线的基本问题(建议用时：60分钟)一、选择题1．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－y23＝1的渐近线的距离是()．A.12B．32C．1D．3解析抛物线y2＝4x的焦点F(1,0)，双曲线x2－y23＝1的渐近线是y＝±3x，即3x±y＝0，故所求距离为|3±0|32＋±12＝32.选B.答案B2．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()．A.x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1解析直线AB的斜率k＝0＋13－1＝12，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x21a2＋y21b2＝1①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－b2a2×2－2，所以b2a2＝12，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为x218＋y29＝1.答案D3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为()．A．5x2－45y2＝1B．x25－y24＝1C.y25－x24＝1D．5x2－54y2＝1解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝ca＝5，可得a＝55，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝45，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－54y2＝1.答案D4．(2014·湖州一模)已知抛物线y2＝4px(p＞0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为()．A.5＋12B．2＋1C．3＋1D．22＋12解析依题意，得F(p,0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，y0，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以p2a2－4p2b2＝1.又因为c＝p，所以c2a2－4c2c2－a2＝1，化简，得c4－6a2c2＋a4＝0，即ca4－6ca2＋1＝0.所以e2＝3＋22，e＝2＋1.答案B5．已知双曲线C与椭圆x216＋y212＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于()．A．3B．4C．2D．1解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝16－12＝2，故椭圆的离心率e1＝24＝12，则双曲线的离心率e2＝1e1＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，则有a＝ce2＝22＝1，b2＝c2－a2＝22－12＝3，所以双曲线的标准方程为x2－y23＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF2|＝4，所以|PF1|＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以|MO|＝12|PF1|＝3.答案A6．(2014·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()．A.43B．53C．94D．3解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，又r1＋r2＝3b，故r1＝3b＋2a2，r2＝3b－2a2.又r1·r2＝94ab，所以3b＋2a2·3b－2a2＝94ab，解得ba＝43(负值舍去)，故e＝ca＝a2＋b2a2＝ba2＋1＝432＋1＝53，故选B.答案B7．(2013·山东卷)抛物线C1：y＝12px2(p0)的焦点与双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．A.316B．38C．233D．433解析抛物线C1：y＝12px2的标准方程为x2＝2py，其焦点为F0，p2；双曲线C2：x23－y2＝1的右焦点F′为(2,0)，其渐近线方程为y＝±33x.由y′＝1px，所以1px＝33，得x＝33p，所以点M的坐标为33p，p6.由点F，F′，M三点共线可求p＝433.答案D二、填空题8．(2013·陕西卷)双曲线x216－y2m＝1(m0)的离心率为54，则m等于________．解析由题意得c＝16＋m，所以16＋m4＝54，解得m＝9.答案99．(2014·辽宁卷)已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.解析椭圆x29＋y24＝1中，a＝3..如图，设MN的中点为D，则|DF1|＋|DF2|＝2a＝6.∵D，F1，F2分别为MN，AM，BM的中点，∴|BN|＝2|DF2|，|AN|＝2|DF1|，∴|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)＝12.答案1210．(2014·合肥二模)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果AF的斜率为－3，那么|PF|＝________.解析抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，因为PA⊥准线l，设P(m，n)，则A(－2，n)，因为AF的斜率为－3，所以n－2－2＝－3，得n＝43，点P在抛物线上，所以8m＝(43)2＝48，m＝6.因此P(6,43)，|PF|＝|PA|＝|6－(－2)|＝8.答案811．(2013·福建卷)椭圆T：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析直线y＝3(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝3c，所以该椭圆的离心率e＝2c2a＝2cc＋3c＝3－1.答案3－112．(2013·浙江卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．解析设直线l的方程为y＝k(x＋1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)．由y＝kx＋1，y2＝4x，得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，则x1＋x2＝4－2k2k2，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝4k，故x0＝2－k2k2，y0＝2k.由x0－12＋y0－02＝2，得2－2k2k22＋2k2＝4.所以k＝±1.答案±1三、解答题13．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．解(1)直线AB的方程是y＝22x－p2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义，得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，即A(1，－22)，B(4,42)；设C(x3，y3)，则OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.14．设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点．(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：OA→·OB→是一个定值．(1)解∵由题意可知抛物线的焦点F为(1,0)，准线方程为x＝－1，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x－1，y2＝4x得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，由直线l过焦点，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝8.(2)证明设直线l的方程为x＝ky＋1，由x＝ky＋1，y2＝4x得y2－4ky－4＝0.∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4，OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)．∵OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3.∴OA→·OB→是一个定值．15．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0，1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．解(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.将点P(0,1)代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得1b2＝1，即b＝1.所以a2＝b2＋c2＝2.所以椭圆C1的方程为x22＋y2＝1.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x22＋y2＝1，y＝kx＋m消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0.整理，得2k2－m2＋1＝0，①由y2＝4x，y＝kx＋m消y，得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.∵直线l与抛物线C2相切，∴Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理，得km＝1，②联立①、②，得k＝22，m＝2，或k＝－22，m＝－2，∴l的方程为y＝22x＋2或y＝－22x－2.新课标第一网系列资料