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容斥原理问题例1在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。（莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）；能被7整除的数共有1000÷7=142（个）……6（个）；同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）……20（个）。所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）：200＋142—28=314（个）；不能被5或7整除的数一共有1000—314=686（个）。例2某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：求这个班的学生人数。（全国第三届“华杯赛”复赛试题）讲析：如图5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。只有篮球一项达到优秀的有15—6—5+2=6（人）；只有游泳一项达到优秀的有18—6—6+2=8（人）；只有短跑一项达到优秀的有17—6—5＋2=8（人）。获得两项或者三项优秀的有6＋6+5—2×2=13（人）。另有4人一项都没获优秀。所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。