物理竞赛中的数学知识

物理竞赛中的数学知识一、重要函数1．指数函数2．三角函数1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyx3．反三角函数反正弦Arcsinx，反余弦Arccosx，反正切Arctanx，反余切Arccotx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。二、数列、极限1．数列：按一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，a（n+1），…简记为｛an｝，通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。2．等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式an=a1+(n-1)d，前n项和11(1)22nnaannSnnad等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项公式an=a1q(n-1)，前n项和11(1)(1)11nnnaaqaqSqqq所有项和1(1)1naSqq3．求和符号4．数列的极限：设数列na,当项数n无限增大时,若通项na无限接近某个常数A,则称数列na收敛于A,或称A为数列na的极限,记作Aannlim否则称数列na发散或nnalim不存在.三、函数的极限：在自变量x的某变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数A，则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变化过程中的极限。设f(x)在xa(a0)有定义,对任意0,总存在X0,当xX时，恒有|f(x)A|，则称常数A是函数f(x)当x+时的极限。记为xlimf(x)=A，或f(x)A(x+)。运算法则0limxx[f(x)g(x)]=0limxxf(x)0limxxg(x)0limxx[f(x)g(x)]=0limxxf(x)0limxxg(x))(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx，其中0limxxg(x)0.四、无穷小量与无穷大量1．若0)(lim0xfxx，则称)(xf是0xx时的无穷小量。（若,)(lim0xgxx则称)(xf是0xx时的无穷大量）。或：若0limxx(x)=0,则称(x)当xx0时为无穷小。在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为lim().fx2．无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3．无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4．无穷小的比较定义：设0limx(x)=0，0limx(x)=0，1)若)()(lim0xxx=0，则称当xx0时(x)是比(x)高阶无穷小。2)若)()(lim0xxx=，则称当xx0时(x)是比(x)低阶无穷小。3)若)()(lim0xxx=C(C0)，则称当xx0时(x)与(x)是同阶无穷小，4)若)()(lim0xxx=1,则称当xx0时(x)与(x)是等价无穷小。5．常用的等价无穷小为：当x0时：sinxx，tanxx，arcsinxx，arctanxx，1cosx221x，11nxxn1。等价无穷小可代换五、二项式定理1．阶乘：n!=1×2×3×……×n2．组合数：从m个不同元素中取出n（n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数3．二项式定理即六、常用三角函数公式sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝—sinαtan（π/2＋α）＝－cotαsin()sincoscossinABABABsin()sincoscossinABABABcos()coscossinsinABABABcos()coscossinsinABABABsin22sincosAAA2222cos2cossin12sin2cos1AAAAA22tantan21tanAAA1cossin22AA1coscos22AA1cossintan21cos1cosAAAAA和差化积公式sinsin2sincos22abababsinsin2cossin22abababcoscos2coscos22abababcoscos2sinsin22abababsintantancoscosababab积化和差公式1sinsincoscos2ababab1coscoscoscos2ababab1sincossinsin2ababab1cossinsinsin2ababab万能公式22tan2sin1tan2aaa221tan2cos1tan2aaa22tan2tan1tan2aaa典型物理问题数列极限等应用1．蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离L1=1m的A点处时，速度是V1=2cm/s。试问蚂蚁继续由A点到距巢中心L2=2m的B点需要多长时间？2．m1m2m3a1a2a3常见近似处理1．人在岸上以v0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？2．如图所示，顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速度ω转动.在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题)3．三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点A,B,C出发，速率都是v，运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4．如图所示，半径为R2的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳定平衡时，R1与R2应满足什么条件?5.一只狐狸以不变的速度1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度rra,22为猎犬所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R，则加速度aR22其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达DF与，猎犬的速度方向转过的角度为2t/R而狐狸跑过的距离是：1t≈L因而2t/R≈1t/L，R=L2/1所以猎犬的加速度大小为aR22=12/L6．如图所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式.sin若取绳圈上很短的一小段绳AB=L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为AT和BT（方向见图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以AT和BT的大小相等，均等于T.AT和BT在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m，根据牛顿第二定律有：RmT22sin2；因为L段很短，它所对应的圆心角很小所以22sin将此近似关系和22mRmRm代入上式得绳中的张力为22RmT7．在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.解析直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为1l、2l、3l，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为1T，再从B到C的时间为2T，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为3T，由题意知321TTT，可得1l：2l：3l=3：4：5，由此能得1T与2T的关系.因为21121121TgTlgTl所以21212TTll因为1l：2l=3：4，所以1232TT小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为11Tt，经各水平段所需时间之和记为2t，则从A到C所经时间总和为21tTt，最短的2t对应t的下限mint，最长的2t对应t的上限.maxt小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与BC重合）时2t最短，其值即为2T，故mint=.35121TTT2t的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量1l，便接一段水平小量2l，这两个小量之间恒有cot12ll，角即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于1l、2l均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量)(1it与)(2it之间有如下关联：cot)()(1212llitit于是作为)(2it之和的2t上限与作为)(1it之和的1T之比也为.cot故2t的上限必为1Tcot，即得：.37cot111maxTTTt这样:maxtmint=7:5求导与微分一、导数的概念1．导数定义设y=f(x)在x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量x,函数值有一相应改变量)()(00xfxxfy,若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x0点的导数,此时称y=f(x)在x0点可导,用0000)(,,)(xxdxxdfxxdyxdyxxyxf或或或表示.若)(xfy在集合D内处处可导（这时称f(x)在D内可导）,则对任意Dx0,相应的导数)(0xf将随0x的变化而变化,因此它是x的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作