物理竞赛练习(三)

物理竞赛练习(三)1.质量与半径足够大的光滑水平圆盘以匀角速度ω绕过圆心的竖直轴旋转。（1）质量分别为mA和mB的两个小球A和B，用劲度系数为k、自由长度为L的轻弹簧相连后置于圆盘上，试对所有可能达到的稳定状态计算A、B各自离圆心的距离。（2）A、B、C为三个小球，A、B间及B、C间均用劲度系数为k、自由长度为L轻弹簧相连后置于圆盘上，若排除二弹簧重叠的可能性，且设A、B、C的质量分别为mA=2k/ω2、mB=3k/ω2、mC=4k/ω2，试讨论系统达到稳定的可能性。2.有三个质量相等的粒子，粒子1与粒子2中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起（可视为一个小物体），静止地放置在光滑水平面上，另一个粒子3沿该光滑水平面射向它们。粒子3和粒子1相碰撞并粘连在一起运动。后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个粒子分成两部分：一部分为粒子2，另一部分为粘在一起的粒子1、3。已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是EP。为了使被释放出的粒子2的散射角保持在30º之内，求粒子3入射时的动能应满足什么条件。OAmBmArBr图17-136x0vv1v2v2v1vO3.设想有一单摆，其摆长L与地球半径R相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为R=6370km。4.设想有一单摆，其摆长L与地球半径R相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为R=6370km。5．某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率P0。（1）夏天室外温度恒为T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的T2。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T1-T2)（牛顿冷却定律），比例系数A。试用T1，P0和A来表示T2。（2）当室外温度为30ºC时，若这台空调器只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20ºC。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20°C。（3）冬天，可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20ºC。6．图42-35是一个滴水起电机的原理图，W是带小孔的水槽，水槽中装有食盐水。食盐水与电极P1间的电压为U0，每滴食盐水的质量为m。盘状电极P2位于P1的下方，相距高度为h，P1、P2之间的电容为C1。当水滴流经P1的狭窄通道时，与P1也形成一个电容器，电容量为C2，C2›C1。C2充电到U0，使小水滴带上正电，然后离开P1的狭窄通道滴下。水滴下落的频率很低，P1、P2之间不会同时有两滴水存在。已知开始时P2不带电，P2上由滴水引起的水位变化可以忽略。试求：(1)电极P2可达到的最高电势；(2)水滴临到达P2之前的速度与该水滴之前落下的水滴滴数之间的关系。W0Uh2P1PO图42-351.解：（1）如图17-136，两小球Am、Bm必与圆心共线，且分居于圆心O两侧对A：)(2LrrkrmBAAA（1）对B：)(2LrrkrmBABB（2）解之，得22)()(BABAABBABABAmmmmkLkmrmmmmkLkmrAr、Br均需要大于零，故BABAmmmmk2（2）A、B、C小球若不共线，如图17-137所示，因任意两球间弹力沿两球心连线方向，不可能指向圆心O，故不可能出现上述不共线的情况。如图17-138，设圆心O在A、B之间，以O为坐标原点，则应有BCBAxxxx00（1）)()()()(222LxxkxmLxxkxmLxxkxmBCCCBABBBAAA将已知条件代入，可得LxxxxxxxLxxxBCCCBABBAA4232解得LxLxLxCBA2不满足（1）式，所以不可能出现上述的稳定状态。ABCO图17-137ABCOxAxBxCx图17-138OABC图17-139设O在B、C之间，建立如图17-139所示坐标，则应有000CBAAxxxx（2）)()()()()()(222LxxkxmLxxkLxxkxmLxxkxmBCCCBABCBBBAAA代入已知条件，简化为LxxxxxxxLxxxBCCCBABBAA4232解得LxLxLxCBA2与（2）式矛盾，所以也不存在这样的稳定状态，综上所述，系统不可能出现任何的稳定状态。2.分析：这量道综合性较强的涉及动量、能量的竞赛题。解答本题要注意三点：（1）依据动量守恒定律分析粒子2散射前后的速度与粒子1、3的速度关系，并画出散射前后的速度矢量图；（2）根据能量关系及速度关系推出弹性势能PE与粒子动能间关系；（3）由题中给出粒子2的散射范围。建立粒子2散射速度矢量图并分析该图解出结论。解：建立如图18-41所示的坐标系，以粒子3入射速度0v为x轴正方向。设每个粒子的质量为m，当粒子3与1相碰并粘在一起，而在细线断开之前，三个粒子是一起运动的，若其共同速度为v，按照动量守恒定律，有mvmv30即v也沿x方向，其大小为30vv细线断开后弹簧释放，弹性力做功使弹性势能PE转化为粒子1、3和粒子2的动能增量，设粒子1、3最后的速度为1v，粒子2最后的速度为2v，由机械能守恒和动量守恒定律可知PEvmmvvm22221)3(2121)2(21（2）021)3()2(mvvmmvvm（3）因弹簧安置的方向不同等原因，粒子2将可能以不同的速度向各方向飞出，设2v与0v的夹角为θ。在细线崩断过程中，粒子2和粒子1、3由于受到弹力的冲量作用，都将产生相应的动量的增量，从而有速度的增量。设其速度增量分别为1v和2v，则有2211vvvvvv或yyyxxxvvvvvv1111yyyxxxvvvvvv2222将（4）式代入（3）式，得mvvvmvvm3)())(2(21因而2121vv或yyxxvvvv21212121（2）式可写成如下的形式PyxyxyxEvvmvvmvvm))(3(21)(21))(2(212222221221将（4）（5）两式化入上式并化简，有])()[(21])())[(2(2122222121yyxxyyxxvvvvmvvvvm)(43))(3(21222222yxyxvvmvvmPyxEvvm))(3(2122得到22)(43vmEp（6）Ov2v2vP图18-42（6）式表明，在pE给定的条件下，2v的大小是一定的，2v的大小和方向与2v的方向有关，即与弹簧安置的方向有关，如图18-42所示，若v和2v的大小一定，即图中圆的半径和P点到圆心的距离一定。当2v与2v垂直时，θ角最大，这时2v的方向沿圆的切线方向，所以在弹簧各种可能的安置方向中，以图1-4-30所示的沿2v的方向安置时，粒子2有最大散射角，要求粒子2的散射角保持在30º以内，必须要求30sin2vv即22vv或602vv（7）由式（7）和（6），可得到202021241)6(43mvvmEp所以要求粒子3入射时的动能pEmv2421204.分析：摆球在地面附近运动，可以认为它所受地球引力的大小不变，为mgRGMmF2但如果摆长很长，则当其摆角即使很小时，摆动中摆球相对于地面的位移也是较大的。由此，在其摆动中所受地球引力的方向变化便不可忽略。这一点正是本题情况与通常所讨论的普通单摆的区别。（在讨论普通单摆时，我们认为摆球所受地球引力为恒力——即其大小和方向都必须是不变的。）解：如图19-43，设此单摆的摆角为时，它偏离平衡位置的位移为x，偏离地心O的角度为a，所受地球引力为F。由图可知，此时摆球所受回复力为coscosmgFF由图有2，且由于,均为很小的角，则近似地有lx、Rx，代入前式可OFF图19-43得)()sin(mgmgFxRlmg11由简谐运动的周期公式有kmT2gRllRRlmgmT)(2112当Rl时，此单摆的周期为gRT22min59354080.9210637023ss说明（1）对于普通单摆，有l«R，代入以上所得的公式为glgRllT212这正是我们早已熟知的单摆周期公式。（2）若l»R，则由前述公式可得gRT2min845040918010637023ss5.分析：夏天，空调器机为制冷机，作逆向卡诺循环，从室内吸热，向室外放热，对工作物质作功。为保持室温恒定，空调器从室内吸热等于室外向室内通过热传导传输的热量。冬天刚好相反，空调为热机，作顺向卡诺循环，从室外吸热，向室内放热，为保持室温恒定，空调器向室内的放热应等于室内向室外通过热传导传输的热量。解：（1）夏天，空调器为制冷机，单位时间从室内吸热2Q，向室外放热1Q，空调器的平均功率P，则PQQ21。对可逆卡诺循环，则有2211TQTQ，PTTTQ2122。通过热传导传热)(21TTAQ，由2QQ得221TAPTT]4[2110212ATPApAPTT因空调器连续工作，式中0pp，]4[211020012ATPApAPTT（2）KT2931，03.0pp，KT3031，而所求的是0PP时对应的1T值，记为max1T，则20213.0TAPTT202max1TAPTT解得CKTTTT26.3826.311)(3.0212max1（3）冬天，空调器为热机，单位时间从室外吸热1Q，向室内放热2Q，空调器连续工作，功率为0P，有012pQQ，2211TQTQ，由热平衡方程得：012212)(pTTTTTA)(2max122021TTTTAPTTCKTT74.174.2742max12若空调器连续工作，则当冬天室外温度最低为1.74ºC，仍可使室内维持在20ºC。6分析：这是一个过程比较复杂的实际问题，首先必须建立起正确的物理模型。水滴在2C这个电容器中被充电，带上了02UCq的正电荷。随着水滴的下落，2P板上的正电荷越来越多，1C的电量不断增加，1P、2P之间的电场强度也不断增大。水滴在下落过程中受到两个力的作用，重力mg和电场力qE，当这两个力互相平衡时，水滴便无法再下落，此时2P的电势便是2P能达到的最高电势。解：(1)水滴电量02UCq，设当2P达到1U时，水滴受力平衡，即.1hUqqEmg得.021UCmghU当水滴下落过程中，消耗的重力势能mgh越大，2P所能达到的电势越高，这样，根据能量转换的观点是很容易理解的。(2)n个水滴落下后，2P的电势便为.//1201CCnUCnqUn此时第n+1个水滴受到的电场力.12022hCUnChqUqEFnn设第n+1个水滴的加速度为.12022hmCUmCgmFmga其速度为.22212022mCUnCghah