物理竞赛讲义二：动力学

动力学（一）中学物理课本中牛顿第二定律表述为：物体的加速度跟物体所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比：∑F=ma。以上是表示质点或质点系中各质点的加速度相同的情况。对于一个质点系（联接体问题），如果各质点的加速度不相同。牛顿第二定律表达式为：niF1=imiaini1∑F=m1a1+m2a2+…+mnan（∑F表示质点系所受到的合外力，a1、a2、…an分别表示各质点的加速度）若一个系统内各质点的加速度（大小或方向）不相同，而又不需要求系统内各质点间相互作用的内力时，利用∑F=m1a1+m2a2+…+mnan对系统列式求解比较简捷。因为对系统分析外力，可减小未知的内力，使列式方便，最大限度简化了数学运算。以上这种方法，我们习惯称之为“整体法”，用这种方法要注意：（1）分析系统受到的外力，而系统内各质点间的相互作用力不需要分析；（2）分析系统内各质点的加速度大小和方向。各质点加速度方向不相同时可采用其正交表达式为：∑Fx=m1a1x+m2a2x+…+mnanx∑Fy=m1a1y+m2a2y+…+mnany1．如图所示，倾角为θ的斜面体置于粗糙的水平面上，已知斜面体的质量为M，一质量为m的木块正沿斜面体以加速度a下滑，且下滑过程中斜面体保持静止，则下滑过程中，地面对斜面体的支持力多大？斜面体受到地面的摩擦力多大？解：以M、m为研究对象，受力分析图示如图所示：Y方向：（M+m）g－N=mayN=（M+m）g–masinθX方向:f＝max＝macosθ2．如图所示，一只木箱放在水平地面上，箱内有一固定的竖直杆，在杆上套着一个环，箱与杆的总质量是M，环的质量为m，已知，环沿杆以加速度aga加速下滑，则此时木箱对地的压力为多大？解：以M和m为研究对象，受力分析图示如图所示：由：∑F=m1a1+m2a2+…+mnan得：（M+m）g－N=maN=Mg+m(a+g)由牛顿第三定律：木箱对地面的压力为Mg+m(a+g)3．一只质量为m小猫，跳起来抓住悬在天花板上质量为M的竖直木杆，当小猫抓住木杆的瞬间，悬挂木杆的绳子断了，设木杆足够长，由于小猫不断地向上爬，可使小猫离地高度保持不变，则木杆下落的加速度为多大？分析：小猫离地高度保持不变，加速度为零，而木杆以加速度a下落，两物体加速度不相同，可以用隔离法求解，也可以采用整体法求解。解：以M和m为研究对象，受力分析图示如图所示，即只受到重力（M+m）g的作用。由∑F=m1a1+m2a2+…+mnan得：（M+m）g=Ma+m0a=MgMm4．如图所示，水平固定在小车上的密封玻璃管中有一气泡，当小车突然向右运动时，气泡相对于小车将向什么方向运动？分析：设想有一个水颗粒，其大小、形状与气泡完全一样，当小车突然向右运动时，水颗粒与其周围的水一起向右运动，而相对与小车不会产生相对运动。此时水颗粒所受的合外力由其周围的水对它的作用力来提供。∵FVa水在条件不变的条件下，对气泡：/FF。∴//FVaVa水气∵水气∴/aa即气泡在F/的作用下,气泡相对于小车向右加速运动.5．如图所示，容器和水的总质量为M，现将一质量为m的金属小球放入水中。若小球在水中以加速度a匀加速下降。则在小球下降的过程中，容器底对水平面的压力为：[]A．gMmB．magMmC．gamgMm2D．gamMg2解析：当小球以加速度a下落时相当于有一个水球以加速度a上升，对整体：maamgmMN水)(maamgmMN水对小球：maFmg浮gmF水浮∴gmamm水gamgMmN26．物体A、B均静止在同一水平面上，其质量分别为mA、mB，与水平面间的动摩擦因数分别为μA、μB，水平方向的力F分别作用在A、B上，所产生的加速度a与力F的关系分别如图中的A、B所示，则以下判断正确的是（A）A．μAμBmAmBB．μA=μBmAmBC．μAμBmAmBD．μA=μBmA=mB1．我们将质点的运动与物体的转动进行对比，可以看到它们的规律有许多相似之处，存在aFOAB着较强的对应性。如；运动的位移与转动的角度、运动的速度与转动的角速度、运动的加速度a与转动的角加速度β(其中β=Δω/Δt)；力是产生加速度的原因，而且F合=ma，力矩是产生角加速度的原因，而且M合=Iβ（其中的I叫转动惯量）.则下列关于角加速度β的单位、转动惯量I的单位（国际单位制主单位）正确的：[C]A、m/s2、NB、rad/s2、NC、rad/s2、kg·m2D、m/s2、kg·m27．一个行星探测器从所探测的行星表面竖直升空，探测器的质量为1500kg，发动机推力恒定.发射升空后9s末，发动机突然间发生故障而关闭.下图是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象.已知该行星表面没有大气.不考虑探测器总质量的变化。求：（1）探测器在行星表面上升达到的最大高度H（2）该行星表面附近的重力加速度g（3）发动机正常工作时的推力F解：(1)0～25s内一直处于上升阶段，上升的最大高度在数值上等于△OAB的面积，即H=21×25×64m=800m(2)9s末发动机关闭，此后探测器只受重力作用，故在这一阶段的加速度即为该行星表面的重力加速度，由图象得：g=tv=1664m/s2=4m/s2(3)由图象知加速上升阶段探测器的加速度:：a=964m/s2根据牛顿运动定律，得：F-mg=maF=m(g+a)=1.67×104N8．如图所示，火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求火箭此时离地面的高度。（g为地面附近的重力加速度）解：启动前N1＝ｍg升到某高度时N2＝（17/18）N1＝（17/18）mg对测试仪Ｎ2－ｍｇ′＝ｍa＝ｍ（ｇ/2）∴g′＝（8/18）g＝（4/9）gＧｍＭ/R2＝ｍg，ＧｍＭ/（R+h）2＝ｍg′，解得：ｈ＝（1/2）R9．某航空公司的一架客机，在正常航线上作水平飞行时，由于突然受到强大垂直气流的作用，使飞机在10ｓ内高度下降1700ｍ造成众多乘客和机组人员的伤害事故，如果只研究飞机在竖直方向上的运动，且假定这一运动是匀变速直线运动．试计算：（1）飞机在竖直方向上产生的加速度多大?方向怎样？（2）乘客所系安全带必须提供相当于乘客体重多少倍的竖直拉力，才能使乘客不脱离座椅？（ｇ取10ｍ/s2）（3）未系安全带的乘客，相对于机舱将向什么方向运动?最可能受到伤害的是人体的什么部位?（注：飞机上乘客所系的安全带是固定连结在飞机座椅和乘客腰部的较宽的带子，它使乘客与飞机座椅连为一体）解：（1）飞机原先是水平飞行的，由于垂直气流的作用，飞机在竖直方向上的运动可看成初速度为零的匀加速直线运动，根据ｈ＝（1／2）ａｔ２，得ａ＝2ｈ／ｔ２代入ｈ＝1700ｍｔ＝10ｓ得：ａ＝（2×1700／10２）（ｍ／ｓ２）＝34ｍ／ｓ２方向竖直向下．（2）飞机在向下做加速运动的过程中，若乘客已系好安全带，使机上乘客产生加速度的力是向下重力和安全带拉力的合力．设乘客质量为ｍ，安全带提供的竖直向下拉力为Ｆ，根据牛顿第二定律Ｆ＋ｍｇ＝ｍａ，得安全带拉力Ｆ＝ｍ（ａ－ｇ）＝ｍ（34－10）Ｎ＝24ｍ（Ｎ）∴安全带提供的拉力相当于乘客体重的倍数：ｎ＝Ｆ／ｍｇ＝24ｍＮ／ｍ·10Ｎ＝2．4（倍）（3）若乘客未系安全带，飞机向下的加速度为34ｍ／ｓ２，人向下加速度为10ｍ／ｓ２，飞机向下的加速度大于人的加速度，所以人对飞机将向上运动，会使头部受到严重伤害10．质量为m的两个相同的小珠，串在光滑圆环上，无初速地自最高处滑下，圆环竖直地立在地面上（如图），问环的质量和小珠质量有什么关系时，圆环才可能从地面上跳起，并求跳起时小珠的位置在何处？解析：∵RmvNmg/cos2由动能定理：2/)cos1(2mvmgR∴mgmgN2cos3由上式可知当θ取某些数值时，N将为负值，此时小球将对环有一个斜向上的弹力，这个力的竖直分力可使环向上跳起。∴0cos2/MgNMgmgmgcos)2cos3(2即：02/cos2cos32mMmM2313131cos（1）若有实数解：0231mM即：32mM如小珠不套在环上，而是放在圆环上，它将于32cos0时脱离圆环，所以圆环跳起时应有32cos0，即θ必大于θ0而小于2。（1）式对应的cosθ的两个根都满足这条件。我们要求圆环第一次跳起时所对应的θ角，此θ应较小，这时cosθ应较大，所以（1）式中若取正号对应的是圆环第一次跳起。取负号时θ较大，相应的cosθ较小，这是圆环第二次跳起。动力学（二）2．如图所示，绳子OO1挂着匣子C，匣内又用绳子挂着A球，A的下方用轻弹簧挂着B球，A、B、C三个物体的质量都是m，原来都处于静止状态，当绳子OO1被烧断瞬间，关于三个物体的加速度，下列判断正确的是：[A、C、D]A．B的加速度为零；B．A、B、C的加速度为g；θMRNmgO1ABCOC．A的加速度为1.5g；D．C的加速度为1.5g。解析：绳子OO1被烧断瞬间，A、C有相同的加速度gmmgmTmgaaCA5.12322AmaFmg2mgF5.04．飞机斜向下做加速度大小为a的匀加速直线运动，飞机中系着小球的悬线与竖直方向的夹角：[D]A．小于gaarctg且,B．等于gaarctg且,C．大于gaarctg且,D．不能确定解：小球的加速度a为重力加速度g与悬线的拉力产生的加速度a1的合加速度，如图所示。当飞机运动方向沿AB（水平方向）或AC时，悬线与竖直方向的夹角均为α，当飞机的加速度方向在AB、AC之间时，悬线与竖直方向的夹角大于α，当飞机的加速度方向在AC、AD之间时，悬线与竖直方向的夹角小于α。如图所示，三个物体的质量分别为m1、m2和m3，带有定滑轮的物体放在光滑的水平地面上，滑轮和所有接触面的摩擦与及绳子的质量均不计。为使三个物体无相对运动，水平推力F__。解：对m3：gmT3对m1：amT1gmma13对整体：gmmmmmammmF)()(321133211．如图所示，质量为m的木块与水平地面间的动摩擦系数为0.4，在恒力F作用下沿水平面做变速运动，h=1m。求木块与A点相距多远时加速度最大。解：∵cosFNma……（1）sin0FNmg……（２）∴(cossin)Fmgma……（３）设辅助角α：21sin12cos1将（３）式变换成：21sin()Fmgma∴090时，a最大。mgNFfAFhFmgTAAαBCDa1a1/aagm1m3m2F∵21cossin12cossin1∴tghS2.5()hSm2．如图所示A为定滑轮，B为动滑轮，二个物体的质量分别为m1=1．5kg，m2=2kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求：(1)每个物体的加速度和绳中的张力T(2)定滑轮A的固定轴受到的轮的压力解析：对m1：111amTgm对m2：2222amgmT由于绳子不伸长，故：a1=2a2∴)/(45.28.925.1425.122422221211smmmgmma)/(23.18.925.1425.1242221212smmmgmma)(0.118.925.1425.13432121NmmgmmT(2)∵2T–N=0∴N=2T=22.1(N)由牛顿第三定律：N/=N=22．1N3．如图所示A为定滑轮，B为动滑轮，三个物体的质量分别为m1=0．2kg，m2=0．1kg，m3=0．05kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求：(1)每个物体的加速度．(2)两根绳中的张力T1和T2。解析：（1）：