高考数学复习 两直线位置关系--对称

两条直线的位置关系------对称问题轴对称：如果两图形上的点一一对应，对应点的连线被某一定直线垂直平分，那么称此两个图形关于这条定直线成轴对称。此定直线叫做对称轴。中心对称：如果两图形上的点一一对应，对应点的连线被某一定点平分，那么称此两个图形关于这个定点成中心对称。此定点叫做对称中心。oA1B2C2A2B1C1MNL1(1)(2)一、点关于点对称三、点关于直线对称二、直线关于点对称四、直线关于直线对称最值问题反射问题两条直线的位置关系------对称四类对称常见运用1、点关于点的对称点问题（1）点关于点对称的问题是最基本对称，是解答其它对称问题的基础。（2）点关于点对称的问题可以采用什么公式计算？中点坐标公式是研究点关于点对称的问题的重要思想。121222xxxyyy一般地,点A(x,y)关于点M(m,n)对称的点B的坐标为(2m-x,2n-y).例1.已知点A(5,8)，B(-4，1)，试求A点关于B点的对称点C的坐标。知识运用与解题研究一、点关于点对称解题要点：中点坐标公式的运用·AC·(x,y)·ByxO得C(-13，-6)-4=5+x21=8+y2(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.二.直线关于点的对称直线l:Ax+By+C=0关于点M(m,n)对称的直线l1的方程为A(2m-x)+B(2n-y)+C=0.例2.求直线m:2x+3y-1=0关于点P(1,4)对称的直线n的方程.解:(法一)直接代入上面结论(法二)在直线m上任取两点A,B.则A,B关于点P的对称点落在直线n上.(法三)使用直线关于点对称得到的直线与原直线平行，则对称点到两直线的距离相等的问题来解。一般地：曲线f（x，y）=0关于点M（m，n）的对称曲线方程为f（2m-x，2n-y）=0特别地曲线f（x，y）=0关于原点（0，0）的对称曲线方程为f（-x，-y）=0.(2+3270)xy练习2.求直线l1:3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的直线l2的方程。二、直线关于点对称解题要点：法一：l2上的任意一点的对称点在l1上;法二：l1∥l2,在直线l1上任取一点A.则A关于点P的对称点落在直线l2上。法三：点P到两直线等距。解:设A(x，y)为l2上任意一点则A关于P的对称点A′在l1上∴3(4-x)-(-2-y)-4=0即直线l2的方程为3x-y-10=0·A（x,y）l2l1yxOPA′(4-x,-2-y)A’A3、点关于直线的对称点问题（1）明确点A关于直线l对称的点A’之间的关系。（2）能够求出点关于直线对称之后得到的点的坐标。l(3)理论依据:①②A和A’的中点在直线l上.'1lAAkk例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l的方程为3x+y-2=0,求点A关于直线l的对称点A’的坐标。三、点关于直线对称解题要点：k•kAA’=-1AA’中点在l上A··A′yxO-3·y-4x-(-4)=-13·-4+x2+4+y2-2=0(x，y)(2，6)l解：二.轴对称(即关于直线的对称)练习2.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.解(法一)设B(m,n）由点关于直线对称的定义知:线段AB⊥l即;=-1①2)7(1mn线段AB被直线l平分,即线段AB的中点21,27nm在直线l上,故有2--5=0②27m21n(一)点关于直线的对称:联立①②解得m=9n=-7∴B(9,-7)________,轴对称的点的坐标是）关于（点xyxP________,轴对称的点的坐标是）关于（点yyxP________,坐标是）关于原点对称的点的（点yxP________,,）对称的点的坐标是）关于点（（点bayxP________,对称的点的坐标是）关于直线（点xyyxP________,对称的点的坐标是）关于直线（点mxyyxP________,对称的点的坐标是）关于直线（点xyyxP________,对称的点的坐标是）关于直线（点mxyyxP小结：),(yx),(yx),(yx)2,2(ybxa),(xy),(xy),(mxmy),(mxmy注：当对称轴的斜率为±1或对称轴与坐标轴垂直时可用上述方法直接求出对称点的坐标。练习:已知点A的坐标为(-4,3)，则A关于x轴、y轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+1的对称点分别是_______________________________(-4，-3)(4，3)(4，-3)(3，-4)(-3，4)(2，-3)A(-4,3)xyo2、点关于特殊直线对称例4.试求直线l1:x-y-2=0关于直线l2:3x-y-1=0对称的直线l的方程。四、直线关于直线对称：求直线关于直线对称的直线方程利用求交点和斜率；也可以转化为求点关于直线的对称点来解决。解题要点：求交点和特殊点。l1l2lx-y-2=03x-y-1=0PP(-1／2，-5／2)∴7x+y+6=0yxO)21x(k25y:的方程为设直线l解:在直线x-y-2=0上任取一点如A(2,0),则A关于直线l2的对称点A1（-1，1）落在直线l,求出直线l的方程。思考：若l1//l2,如何求l1关于l2的对称直线方程？设直线方程为f（x，y）=0则：直线f（x，y）=0关于直线y=x对称的直线方程为f（y，x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=-x对称的直线方程为f（-y，-x）=0直线f（x，y）=0关于直线y=x+b对称的直线方程为f（y-b，x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=-x+b对称的直线方程为f（b-y，-x+b）=0直线f（x，y）=0关于直线y=0（x轴）对称的直线方程为f（x，-y）=0直线f（x，y）=0关于直线x=0（y轴）对称的直线方程为f（-x，y）=0直线f（x，y）=0关于直线y=m对称的直线方程为f（x，2m-y）=0直线f（x，y）=0关于直线x=n对称的直线方程为f（2n-x，y）=0特别地：当对称轴所在的直线与坐标轴垂直或斜率为±1时可用以下结论直接代入；练习1：和直线3x-4y+5=0关于y=x对称的直线的方程为()A、3x+4y-5=0B、3y+4x+5=0C、3x-4y+5=0D、-3y+4x-5=0D填空:写出直线2x-3y+6=0(1)关于x轴对称的直线方程为_________;(2)关于y轴对称的直线方程为_________;(3)关于原点对称的直线方程为________;(4)关于直线y=x对称的直线方程为___________;(5)关于直线y=-x对称的直线方程为___________.2x+3y+6=02x+3y-6=02x-3y-6=02y-3x+6=02y-3x-6=0五、反射问题A··B(5，8)(x，y)yxOA′(10，-2)l(-2，4)y-42·2=-1x-22y+422·--7=0A′B：2x+y-18=0l：2x-y-7=0P(25／4，11／2)AP：2x-11y+48=0A′.8507yx242.5所在的直线方程），求入射线和反射线，（反射，若反射线通过点：），经过直线，（光线通过例BlA六、最值问题例6.已知P在x轴上，A(-3，1)，B(7，2)且︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是______·BA′Pyx(-3，-1)(7，2)3x-10y-1=0y=0(1／3，0)M∣︱MA︱-︱MB︱∣最大=∣AB∣O(1／3,0)A·P练习:已知P在x轴上，A(-3，1)，B(5，-3)且︱PA︱+︱PB︱最小，则P的坐标是_____最小值是____··A(-3,1)B(5,-3)Pyxx+2y+1=0y=0(-1，0)4√5A′(-1，0)MO作业：1.书P101A112.三维设计P56题型三