高考数学复习 抛物线的简单几何性质

方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）xyOFABB’A’224,(1)4,yxxx代入方程得.0162xx化简得8262121xxABxx。的长是所以，线段8AB例2斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1练习.点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.xyoF(4,0)Mx+5=0解:由已知条件可知,点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离,根据抛物线的定义,点M的轨迹是以点F(4,0)为焦点的抛物线.∵p/2=4,∴p=8.又因为焦点在轴的正半轴,所以点M的轨迹方程为y2=16x.分析:用坐标法解决这个问题,只要讨论直线的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况,由方程组的解的个数判断直线与抛物线的公共点个数.例3.已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?解:依题意直线l的方程为1(2)ykx联立21(2)(*)4ykxyx你认为是消x呢,还是消y呢?消去x可得244(21)0kyyk(Ⅰ)当0k时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点.当0k时,方程(Ⅰ)的根的判别式△=216(21)kk①当△=0时,1k1或2.这时，直线与抛物线只有一个公共点.l于是，当且时，方程（Ⅰ）有2个解，从而，方程组（Ⅰ）有两个解，这时，直线与抛物线有2个公共点.11,2k0k②由即,02210,kk解得.211kl③由即,0,0122kk由即,0解得.211kk或于是，当时，方程没有实数解，从而方程组（Ⅰ）没有解，这时，直线与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当时，直线与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或或l当时，直线与抛物线有两个公共点;11002kk或l你能通过作图验证这些结论吗？当时，直线与抛物线没有公共点.21,1kk或l判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个交点）计算判别式0=00相交相切相离总结：1)过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为;28yx452)设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为则为;oFpxy220pAFAx60OA3）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）2xy0834yx34.A57.B58.C3.D16212pA作业：课本P64：A组6