教辅：高考数学大二轮专题复习冲刺方案-第一编第4讲

第4讲转化与化归思想第一编讲方法「思想方法解读」转化与化归思想是指在研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过转化，使问题得以解决的一种思维策略，其核心是把复杂的问题化归为简单的问题，将较难的问题化归为较容易求解的问题，将未能解决的问题化归为已经解决的问题．常见的转化与化归思想应用具体表现在：将抽象函数问题转化为具体函数问题，立体几何和解析几何中一般性点或图形问题转化为特殊点或特殊图形问题，以及“至少”或“是否存在”等正向思维受阻问题转化为逆向思维问题，空间与平面的转化，相等问题与不等问题的转化等．热点题型探究热点1特殊与一般的转化例1(1)(2020·全国卷Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝()A．2B．3C．4D．5答案C解析在等式am＋n＝aman中，令m＝1，可得an＋1＝ana1＝2an，∴an＋1an＝2，∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n－1＝2n.∴ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝ak＋1·（1－210）1－2＝2k＋1·（1－210）1－2＝2k＋1·(210－1)＝25(210－1)，∴2k＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.故选C.(2)在平行四边形ABCD中，|AB→|＝12，|AD→|＝8.若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→·NM→＝()A．20B．15C．36D．6答案C解析解法一：由BM→＝3MC→，DN→＝2NC→知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝34BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝23DC，所以AM→＝AB→＋34AD→，AN→＝AD→＋DN→＝AD→＋23AB→，所以NM→＝AM→－AN→＝AB→＋34AD→－AD→＋23AB→＝13AB→－14AD→，所以AM→·NM→＝AB→＋34AD→·13AB→－14AD→＝13AB→＋34AD→·AB→－34AD→＝13AB→2－916AD→2＝13144－916×64＝36，故选C.解法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12，6)，N(8，8)，所以AM→＝(12，6)，NM→＝(4，－2)，所以AM→·NM→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单；特殊问题一般化，可以把握问题的一般规律，使我们达到成批处理问题的效果．对于客观题，当题设条件提供的信息在普通条件下都成立或暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，可以快捷地得到答案．1．若函数f(x)＝1＋x3，则f(lg2)＋flg12＝()A．2B．4C．－2D．－4答案A解析∵f(x)＝1＋x3，∴f(－x)＋f(x)＝2，∵lg12＝－lg2，∴f(lg2)＋flg12＝2，故选A.2．(2020·山东省泰安市高三四模)直线l过抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1|AF|＋1|BF|＝________．21解析由p2＝1，得p＝2，当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2，此时|AF|＝|BF|＝2，所以1|AF|＋1|BF|＝12＋12＝1；当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，1|AF|＋1|BF|＝|AF|＋|BF||AF||BF|＝x1＋x2＋2（x1＋1）（x2＋1）＝x1＋x2＋2x1x2＋x1＋x2＋1＝x1＋x2＋21＋x1＋x2＋1＝1.热点2函数、方程、不等式间的转化例2(1)已知函数f(x)＝ax(x2－1)＋x(a0)，方程f[f(x)]＝b对于任意b∈[－1，1]都有9个不等实根，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析∵f(x)＝ax(x2－1)＋x(a0)，∴f′(x)＝3ax2＋(1－a).若0a≤1，则f′(x)≥0，f(x)单调递增，此时方程f[f(x)]＝b不可能有9个不等实根，故a1.令f′(x)＝0，得x＝±a－13a，不妨令x1＝－a－13a，x2＝a－13a.∵当a1时，a－13a，∴－1x10，0x21.f(－x)＝a(－x)[(－x)2－1]＋(－x)＝－[ax(x2－1)＋x]＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，又函数f(x)过定点(1，1)，(－1，－1)和(0，0)，则作出函数f(x)的大致图象如图所示．令f(x)＝t，方程f(t)＝b对于任意b∈[－1，1]都有9个不等实根，即方程f(x)＝t1，f(x)＝t2，f(x)＝t3，一共有9个不等实根，∴f(x)在极小值点处的函数值小于－1，即fa－13a＝23(1－a)a－13a－1，即(a－4)(2a＋1)20，解得a4，故实数a的取值范围为(4，＋∞).故选D.(2)(多选)(2020·山东省聊城市高三模拟)若实数a≥2，则下列不等式中一定成立的是()A．(a＋1)a＋2(a＋2)a＋1B．loga(a＋1)log(a＋1)(a＋2)C.loga(a＋1)a＋1aD．log(a＋1)(a＋2)a＋2a＋1答案AD解析令f(x)＝lnxx，则f′(x)＝1－lnxx2，可得函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∵实数a≥2，∴a＋1e，∴ln（a＋1）a＋1ln（a＋2）a＋2，∴(a＋1)a＋2(a＋2)a＋1，log(a＋1)(a＋2)a＋2a＋1，可得A，D正确．∵ln（a＋1）a＋1与lnaa的大小关系不确定，∴C不正确．对于B，令g(x)＝logx(x＋1)(x≥2)，则g′(x)＝xlnx－（x＋1）ln（x＋1）x（x＋1）ln2x0，∴函数g(x)在[2，＋∞)上单调递减，∴loga(a＋1)log(a＋1)(a＋2)，B不正确．综上可得，只有A，D正确．函数、方程与不等式相互转化的应用函数、方程与不等式三者之间存在着密不可分的联系，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式之间的转化可以将问题化繁为简，常常将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题；将证明不等式问题转化为函数的单调性与最值问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题．1．已知函数f(x)＝x＋(2－kx)ex(x0)，若f(x)0的解集为(a，b)，且(a，b)中恰有两个整数，则实数k的取值范围为()A．－∞，1e2B．1e4＋12，1e3＋23C．1e3＋23，1e2＋1D．1e2＋1，1e＋2答案C解析f(x)＝x＋(2－kx)ex0⇒x(kx－2)ex⇒xexkx－2，设g(x)＝xex(x0)，h(x)＝kx－2，问题就转化为在(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数．先研究函数g(x)的单调性，g′(x)＝1－xex(x0)，当x1时，g′(x)0，所以函数g(x)在(1，＋∞)上单调递减；当0x1时，g′(x)0，所以函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝1e.注意到g(0)＝0，当x0时，g(x)0.h(x)＝kx－2，恒过(0，－2)，要想在(a，b)内，g(x)h(x)，且(a，b)中恰有两个整数，必须要满足以下两个条件：g（2）＞h（2），g（3）≤h（3）⇒k＜1e2＋1，k≥1e3＋23⇒1e3＋23≤k＜1e2＋1，故选C.2．(2020·山东省临沂市高三一模)已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋2，x≥0，－x2ex，x0，若方程f(x)＋a＝0有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．答案{a|－6a≤－2或a＝4e－2}解析当x≥0时，f(x)＝－x3＋3x2＋2，故f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)，故函数在[0，2]上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，f(0)＝2，f(2)＝6；当x0时，f(x)＝－x2ex，故f′(x)＝－xex(x＋2)，故函数在(－∞，－2)上单调递减，在[－2，0)上单调递增，f(－2)＝－4e－2.画出函数图象，如图所示：f(x)＋a＝0，即f(x)＝－a，根据图象知，2≤－a6或－a＝－4e－2，解得－6a≤－2或a＝4e－2.热点3正难则反的转化例3(1)若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋20”为假命题，则m的取值范围是()A.(－∞，－1]∪[2，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C.[－1，2]D．(－1，2)答案C解析若命题“∃x0∈R，x20＋2mx0＋m＋20”为假命题，则命题等价于∀x∈R，x2＋2mx＋m＋2≥0恒成立，故只需要Δ＝4m2－4(m＋2)≤0⇒－1≤m≤2.故选C.(2)已知函数f(x)＝ax2－x＋lnx在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为________．答案0，18解析f′(x)＝2ax－1＋1x.(ⅰ)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，则f′(x)≥0在(1，2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≥0，得a≥121x－1x2.①令t＝1x，因为x∈(1，2)，所以t＝1x∈12，1.设h(t)＝12(t－t2)＝－12t－122＋18，t∈12，1，显然函数y＝h(t)在区间12，1上单调递减，所以h(1)＜h(t)＜h12，即0＜h(t)＜18.由①可知，a≥18.(ⅱ)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递减，则f′(x)≤0在(1，2)上恒成立，所以2ax－1＋1x≤0，得a≤121x－1x2.②结合(ⅰ)可知，a≤0.综上，若函数f(x)在区间(1，2)上单调，则实数a的取值范围为(－∞，0]∪18，＋∞.所以若函数f(x)在区间(1，2)上不单调，则实数a的取值范围为0，18.正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．1．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________．1623解析因为甲、乙两球落入盒子的概率分别为12，13，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子的概率为12×13＝16，甲、乙两球都不落入盒子的概率为1－12×1－13＝13，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－13＝23.2．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]内至少存在一个值c，使得f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．答案－3，32解析若在区间[－1，1]内不存在c满足f(c)＞0，因为Δ＝36p2≥0恒成立，则f（－1）≤0，f（1）≤0，解得p≤－12或p≥1，p≤－3或p≥32．所以p≤－3或p≥32，取补集得－3＜p＜32，即满足题意的实数p的取值范围是－3，32.热点4形体位置关系的转化例4(1)正三角形A