教辅：高考数学大二轮专题复习冲刺方案-第一编第5讲

第5讲选择题的解题方法第一编讲方法「题型特点解读」选择题包括单项选择题和多项选择题，在高考中题目数量多，占分比例高，概括性强，知识覆盖面广，注重多个知识点的小型综合．其中多选题的引入，为数学基础和数学能力在不同层次的考生都提供了发挥空间，提高了考试的区分度．我们在解题时要充分利用题干和选项所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，选最简解法，以准确、迅速为宗旨，绝不能“小题大做”．方法1直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．例1(1)(多选)(2020·山东省日照市高三6月校际联合考试)2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代．某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则()A．P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商B．三家设备商的产品组合指标得分相同C.在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商D.除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商答案ABD解析雷达图中是越外面其指标值越优，由图可知A，B，D均正确，而对于C，Q设备商与R设备商各有优劣．故选ABD.(2)(2020·全国卷Ⅱ)如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤ijk≤12.若k－j＝3且j－i＝4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若k－j＝4且j－i＝3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A．5B．8C．10D．15答案C解析根据题意可知，原位大三和弦满足k－j＝3，j－i＝4，∴i＝1，j＝5，k＝8；i＝2，j＝6，k＝9；i＝3，j＝7，k＝10；i＝4，j＝8，k＝11；i＝5，j＝9，k＝12.原位小三和弦满足k－j＝4，j－i＝3.∴i＝1，j＝4，k＝8；i＝2，j＝5，k＝9；i＝3，j＝6，k＝10；i＝4，j＝7，k＝11；i＝5，j＝8，k＝12.故可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为10.故选C.(3)若m，n，p∈(0，1)，且log3m＝log5n＝lgp，则()A．m13n15p110B．n15m13p110C．p110m13n15D．m13p110n15答案A解析设log3m＝log5n＝lgp＝a(a0)，所以m＝3a，n＝5a，p＝10a，所以m13＝313a＝(33)a＝(30310)a，n15＝515a＝(55)a＝(3056)a，p110＝10110a＝(1010)a＝(30103)a，因为函数y＝xa(a0)在(0，＋∞)上单调递减，且30310＞3056＞30103，所以m13n15p110，故选A.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法直接法的解题过程与常规解法基本相同，不同的是解选择题时可利用选项的暗示性，同时应注意：在计算和论证时应尽量简化步骤，合理跳步，以提高解题速度，注意一些现成结论的使用，如球的性质、正方体的性质，等差、等比数列的性质等．1．将正方形ABCD沿对角线AC折起，并使得平面ABC垂直于平面ACD，直线AB与CD所成的角为()A．90°B．60°C．45°D．30°答案B解析如图，取AC，BD，AD的中点，分别为O，M，N，连接ON，MN，OM.则ON∥12CD，MN∥12AB，所以∠ONM或其补角即为所求的角．因为平面ABC垂直于平面ACD，平面ABC∩平面ACD＝AC，BO⊥AC，BO⊂平面ABC，所以BO⊥平面ACD，又OD⊂平面ACD，所以BO⊥OD.设正方形边长为2，OB＝OD＝2，所以BD＝2，则OM＝12BD＝1.所以ON＝MN＝OM＝1.所以△OMN是等边三角形，故∠ONM＝60°.所以直线AB与CD所成的角为60°.故选B.2．(多选)设椭圆x29＋y23＝1的右焦点为F，直线y＝m(0m3)与椭圆交于A，B两点，则()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6，12]C．当m＝32时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，所以|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|为定值6，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，因为|AF|＋|BF|为定值6，易知|AB|的范围是(0，6)，所以△ABF的周长的范围是(6，12)，B错误；将y＝32与椭圆方程联立，可解得A－332，32，B332，32，又易知F(6，0)，所以AF→·BF→＝6＋332×6－332＋－322＝0，所以△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－6，1)，B(6，1)，所以S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．方法2排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个选项进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得唯一正确的结论．例2(1)设函数f(x)＝log24（x－1），x≥2，12x＋1，x＜2，若f(x0)＞3，则x0的取值范围为()A．(－∞，0)∪(2，＋∞)B．(0，2)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1，3)答案C解析取x0＝1，则f(1)＝12＋1＝32＜3，故x0≠1，排除B，D；取x0＝3，则f(3)＝log28＝3，故x0≠3，排除A.故选C.(2)(2020·浙江高考)函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为()答案A解析因为f(x)＝xcosx＋sinx，则f(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝π时，y＝πcosπ＋sinπ＝－π＜0，排除B.故选A.排除法适用于直接法解决很困难或者计算较复杂的情况(1)当题目中的条件不唯一时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定．(2)再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直至得到正确的选择．1．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．－12，2∪(2，＋∞)B．(2，＋∞)C．－12，＋∞D．－∞，－12答案A解析解法一：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b0，且a与b不反向，所以－2λ－10且λ≠2，解得λ∈－12，2∪(2，＋∞).解法二：因为当λ＝0时，a与b的夹角为钝角，排除B，D；当λ＝2时，a与b的夹角为π，排除C，故选A.2．函数f(x)＝x2lg|x|3|x|的图象大致是()答案D解析由函数的解析式得，函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝x2lg|x|3|x|＝f(x)，故函数f(x)在定义域内是偶函数．当x＝±1时，f(x)＝0，当x∈(0，1)∪(－1，0)时，f(x)0，可排除B，C；当x→0时，f(x)→0，排除A，故选D.方法3特值法从题干(或选项)出发，通过选取构造特殊情况代入，将问题特殊化，再进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等．例3(1)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则()A．3y＜2x＜5zB．2x＜3y＜5zC．3y＜5z＜2xD．5z＜2x＜3y答案A解析取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大．取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y.综上可得，3y＜2x＜5z，故选A.(2)(2020·江西南昌二中模拟)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则上、下两部分的体积之比为()A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．3∶1答案B解析将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC－AA1B＝VA1－ABC＝13VABC－A1B1C1．故上、下两部分的体积之比为2∶1.在题设条件成立的情况下，用特殊值(取得越简单越好)进行探求，从而可清晰、快捷地得到答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解高考数学选择题的最佳策略．1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，B是A和C的等差中项，则a＋c与2b的大小关系是()A．a＋c＞2bB．a＋c＜2bC．a＋c≥2bD．a＋c≤2b答案D解析不妨令A＝B＝C＝60°，则可排除A，B；再令A＝30°，B＝60°，C＝90°，可排除C，故选D.2．(2020·山西省山西大学附中高三诊断考试)函数f(x)＝sinxx＋x2－2|x|的大致图象为()答案D解析f(1)＝sin1＋1－2＝sin1－10，排除B，C；当x＝π6时，fπ6＝sinπ6π6＋π62－2×π6＝3π＋π236－π30，排除A.故选D.方法4数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，这种方法叫数形结合法．有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略．例4(1)若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是()A．4B．5C．6D．7答案A解析因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为2的周期函数．又x∈[－1，1]时，f(x)＝|x|，所以函数f(x)的图象如图所示．再作出y＝log3|x|的图象，易得两函数图象有4个交点，所以方程f(x)＝log3|x|有4个根．故选A.(2)已知函数f(x)＝ln(x－a)，若∃x1，x2∈(a，＋∞)，使得[x1－f(x2)]2＋[x2－f(x1)]2＝4，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2－1]B．－∞，22C．(－∞，2]D．(－∞，2]答案A解析令t＝f(x2)，则S(x1，x2)＝[x1－f(x2)]2＋[x2－f(x1)]2为两点(x1，f(x1))，(t，et＋a)间的距离的平方，作出函数y＝f(x)与y＝ex＋a的图象如图所示，设A(1＋a，0)，B(0，1＋a)，两函数图象在A，B处的切线斜率都为1，kAB＝－1，当a－1时，可知|AB|2为S(x1，x2)的最小值，即4≥[2(a＋1)]2，解得－1a≤2－1；当a≤－1时，显然成立．综上，a≤2－1.故选A.利用数形结合思想解决最值问题的一般思路利用数形结合的思想可以求与几何图形有关的最值问题，也可以求与函数有关的一些量的取值范围或最值问题.(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解．(2)对于求最大值、最小值问题，先分析所涉及知识，然后画出相应图象，数形结合求解．1．已知动点P在椭圆x236＋y227＝1上，若点A的坐标为(3，0)，点M满足|AM→|＝1，PM→·AM→＝0，则|PM→|的最小值是()A．2B．3C．22D．3答案C解析由|AM→|＝1可知点M的轨迹是以点A为圆心，1为半径的圆，过点P作该圆的切线PM，则PM→·AM→＝0，|PA|2＝|PM|2＋|AM|2，得|PM|2＝|PA|2－1，所以