教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第6章单元测试卷

第六章单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．已知等差数列{an}中，a2＝5，a4＝11，则前10项和S10＝()A．55B．155C．350D．400答案B解析由a2＝a1＋d＝5，a4＝a1＋3d＝11，解得a1＝2，d＝3.∴S10＝10a1＋10×10－12·d＝155.2．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于()A．－6(1－3－10)B.19(1－3－10)C．3(1－3－10)D．3(1＋3－10)答案C解析由3an＋1＋an＝0，a2＝－43，得a1＝4，an＋1an＝－13.∴数列{an}是等比数列．S10＝a1[1－－1310]1－－13＝3(1－3－10)．3．在等差数列{an}中，首项a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋…＋a7，则k＝()A．22B．23C．24D．25答案A解析因为an＝(n－1)d，由题知(k－1)d＝d＋2d＋…＋6d＝21d，所以k＝22，故选A.4．设数列{an}是公差不为零的等差数列，它的前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，则a4a1等于()A．3B．4C．6D．7答案D解析∵数列{an}是公差不为零的等差数列，设公差为d.∴S1＝a1，S2＝2a1＋d，S4＝4a1＋6d.又∵S1，S2，S4，成等比数列，∴S22＝S1·S4，可得d＝2a1或d＝0(舍去)．∴a4＝a1＋3d＝7a1.∴a4a1＝7.故选D.5．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是()A．若d0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn0D．若对任意n∈N*，均有Sn0，则数列{Sn}是递增数列答案C解析因为Sn＝na1＋12n(n－1)d＝d2n2＋(a1－d2)n，所以Sn是关于n的二次函数，当d0时，Sn有最大值，即数列{Sn}有最大项，故A项命题正确．若{Sn}有最大项，即对于n∈N*，Sn有最大值，故二次函数图像的开口要向下，即d0，故B项命题正确．而若a10，d0，则数列{Sn}为递增数列，此时S10，故C项命题错误．若对于任意的n∈N*，均有Sn0，则a1＝S10，且d2n＋a1－d20对于n∈N*恒成立，∴d20，即命题D项正确．故选C项．6．在10到2000之间，形如2n(n∈N*)的各数之和为()A．1008B．2040C．2032D．2016答案C解析S＝24＋25＋…＋210＝241－271－2＝(27－1)·24＝2032.7．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2fn＋n2(n∈N*)，且f(1)＝2，则f(20)＝()A．95B．97C．105D．192答案B解析∵f(n＋1)＝f(n)＋n2，∴f20＝f19＋192，f19＝f18＋182，……f2＝f1＋12.累加，得f(20)＝f(1)＋(12＋22＋…＋192)＝f(1)＋19×204＝97.8．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余的钢管为()A．9根B．10根C．19根D．29根答案B解析设堆成x层，得1＋2＋3＋…＋x≤200，即求使得x(x＋1)≤400成立的最大正整数x，应为19.∴200－1919＋12＝10.9．已知等比数列{an}的公比q0，其前n项的和为Sn，则a9S8与a8S9的大小关系是()A．a9S8a8S9B．a9S8a8S9C．a9S8≥a8S9D．a9S8≤a8S9答案A解析a9S8－a8S9＝a9a11－q81－q－a8a11－q91－q＝a8a1q－q9－1＋q91－q＝－a1a8＝－a21q7，因为a210，q0，所以－a21q70，即a9S8a8S9，故选A.10．若在等差数列{an}中的a1，a4025是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－1的极值点，则log2a2013＝()A．2B．3C．4D．5答案A解析由题意得f′(x)＝x2－8x＋6.∵a1，a4025是函数f(x)＝13x3－4x2＋6x－1的极值点，∴a1，a4025是方程x2－8x＋6＝0的两实数根，则a1＋a4025＝8.而{an}为等差数列，∴a1＋a4025＝8＝2a2013＝8，即a2013＝4，从而log2a2013＝2.11．(2014·衡水调研)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，a2＝2，b1＝2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i＋j＝k＋l时，都有ai＋bj＝ak＋bl，则12013i＝12013(ai＋bi)(注：i＝1nai＝a1＋a2＋…＋an)的值为()A．2012B．2013C．2014D．2015答案D解析由条件可得a1＝1，b1＝2；a2＝2，b2＝3；a3＝3，b3＝4；…；a2013＝2013，b2013＝2014.∴12013i＝12013(ai＋bi)＝12013[(1＋2014)×2013]＝2015.12．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的产量为f(n)＝12n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()A．5年B．6年C．7年D．8年答案C解析由题意可知第一年的产量为a1＝12×1×2×3＝3；以后各年的产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝12n(n＋1)(2n＋1)－12(n－1)·n·(2n－1)＝3n2.令3n2≤150，∴1≤n≤52.又∵n∈N*，∴1≤n≤7，即生产期限最长为7年．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.答案24解析∵{an}是等差数列，由S9＝72，得9a5＝72，a5＝8.∴a2＋a4＋a9＝(a2＋a9)＋a4＝(a5＋a6)＋a4＝3a5＝24.14．若m，n，m＋n成等差数列，m，n，m·n成等比数列，则椭圆x2m＋y2n＝1的离心率为________．答案22解析由题意知2n＝m＋m＋n，∴n＝2m.又n2＝m·m·n，∴n＝m2，∴m2＝2m.∴m＝2，∴n＝4，∴a2＝4，b2＝2，c2＝2.∴e＝ca＝22.15．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4S2＝5，则S8S4＝________.答案17解析数列{an}为等比数列，根据等比数列前n项和的性质，设S2＝t，S4－S2＝4t，S6－S4＝16t，S8－S6＝64t，∴S2＝t，S4＝5t，S6＝21t，S8＝85t，∴S8S4＝85t5t＝17.16．已知数列{an}满足a1＝0，a2＝1，an＋2＝3an＋1－2an，则{an}的前n项和Sn＝________.答案2n－n－1解析由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，a2－a1＝1，∴数列{an＋1－an}为等比数列，an＋1－an＝(a2－a1)2n－1＝2n－1，即a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝2n－2.再由累加法得an－a1＝1＋2＋22＋…＋2n－2＝2n－1－1，an＝2n－1－1，∴Sn＝1×2n－12－1－n＝2n－n－1.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值．答案(1)an＝11－n(2)n＝10或11时，Sn最大值为55解析(1)∵{an}为等差数列，∴a2＋a5＝a3＋a4.∴a2＋a5＝15，a2·a5＝54，解得a2＝6，a5＝9(因d0，舍去)或a2＝9，a5＝6，∴d＝－1，a1＝10.∴an＝11－n.(2)∵a1＝10，an＝11－n，∴Sn＝na1＋an2＝－12n2＋212n.又∵－120，对称轴为n＝212，∴当n＝10或11时，Sn取最大值，其最大值为55.18．(本小题满分12分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，点(Sn，an＋1)在直线y＝2x＋1上，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝log3an＋1，Tn是数列{1bn·bn＋1}的前n项和，求T2014的值．答案(1)an＝3n－1(2)20142015解析(1)由题意得an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．∵a1＝1，∴a2＝2S1＋1＝3，∴当n≥1时，{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.(2)由(1)得知an＝3n－1，bn＝log3an＋1＝n，1bnbn＋1＝1n＋1n＝1n－1n＋1，T2014＝1b1b2＋…＋1b2014b2015＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12014－12015)＝20142015.19．(本小题满分12分)在数列{an}中，a1＝1，当n≥1时，其前n项的和Sn满足S2n＝an(Sn－1)．(1)证明：数列{1Sn}是等差数列；(2)设bn＝log2SnSn＋2，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足Tn≥6的最小正整数n.答案(1)略(2)n＝10解析(1)证明：∵S2n＝an(Sn－1)，∴S2n＝(Sn－Sn－1)(Sn－1)(n≥2)．∴SnSn－1＝Sn－1－Sn，即1Sn－1Sn－1＝1.∴{1Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知Sn＝1n，∴bn＝log2n＋2n，∴Tn＝log2(31×42×53×64×…×n＋2n)＝log2n＋1n＋22≥6.∴(n＋2)(n＋1)≥128.∵n∈N*，∴n≥10.∴满足Tn≥6的最小正整数为10.20．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d≠0，等比数列{bn}满足a1＝b1，a2＝b2，a5＝b3.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}对任意n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，求数列{cn}的前n项和Sn.答案(1)an＝2n－1，bn＝3n－1(2)Sn＝3n解析(1)由a2＝1＋d，a5＝1＋4d，且a1，a2，a5成等比数列，得(1＋d)2＝1＋4d.又d≠0，所以d＝2.∴an＝1＋(n－1)d＝2n－1.又b2＝a2＝3，∴q＝3，bn＝3n－1.(2)∵c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1，①∴c1b1＝a2，∴c1＝3.又c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an(n≥2)，②①－②，得cnbn＝an＋1－an＝2.∴cn＝2bn＝2·3n－1(n≥2)，∴cn＝3，n＝1，2·3n－1，n≥2.当n＝1时，Sn＝c1＝3，当n≥2时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝3＋2·(31＋32＋…＋3n－1)＝3＋2·31－3n－11－3＝3n，所以Sn＝3n.21．(本小题满分12分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.(1)求第n年年初M的价值an的表达