教辅：新课标版数学（理）高三总复习之第7-4不等式及推理与证明

高考调研第1页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习第七章不等式及推理与证明高考调研第2页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习第4课时基本不等式高考调研第3页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最值问题．请注意基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用．高考调研第4页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐授人以渔自助餐课外阅读题组层级快练高考调研第5页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习课前自助餐高考调研第6页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．基本不等式这一定理叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．若a，b∈R＋，则a＋b2≥ab，当且仅当时取“＝”．a＝b不小于高考调研第7页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2．常用不等式(1)若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当时取“＝”．a＝b(2)a2＋b22≥a＋b22≥ab.(3)a2＋b2≥2|ab|.(4)x＋1x≥2.高考调研第8页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习3．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝p(定值)，(2)如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)，那么当时，x＋y有最小值2p.x＝y那么当时，xy有最大值S24.x＝y高考调研第9页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习1．x∈R，下列不等式恒成立的是()答案AA．x2＋1≥xB.1x2＋11C．lg(x2＋1)lg(2x)D．x2＋44x高考调研第10页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习2．下列不等式证明过程正确的是()答案DA．若a，b∈R，则ba＋ab≥2ba·ab＝2B．若x0，y0，则lgx＋lgy≥2lgx·lgyC．若x0，则x＋4x≥－2x·4x＝－4D．若x0，则2x＋2－x22x·2－x＝2高考调研第11页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习解析∵x0，∴2x∈(0,1)，2－x1.∴2x＋2－x22x·2－x＝2.∴D正确．而A，B首先不满足“一正”，C应当为“≤”．高考调研第12页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习3．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是()答案BA．4B．8C．22D．42解析∵2x＋4y≥22x·22y＝22x＋2y＝224＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y的最小值为8.高考调研第13页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习4．(课本习题改编)设x0，y0，且x＋4y＝40，则lgx＋lgy的最大值是()A．40B．10C．4D．2答案D解析∵x＋4y＝40，且x0，y0，∴x＋4y≥2x·4y＝4xy.(当且仅当x＝4y时取“＝”)∴4xy≤40.∴xy≤100.∴lgx＋lgy＝lgxy≤lg100＝2.∴lgx＋lgy的最大值为2.高考调研第14页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习5．(课本习题改编)建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1m2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为________元．答案1760解析设水池底面的长度、宽度分别为am，bm，则ab＝4，令水池表面的总造价为y，则y＝ab×120＋2(2a＋2b)×80＝480＋320(a＋b)≥480＋320×2ab＝480＋320×4＝1760，当且仅当a＝b＝2时取“＝”．高考调研第15页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习授人以渔高考调研第16页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型一利用基本不等式求最值例1在下列条件下，求y＝4x－2＋14x－5的最值．(1)当x54时，求最大值；(2)当x54时，求最小值；(3)当x≥2时，求最小值．高考调研第17页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)∵x54，∴5－4x0.∴y＝4x－2＋14x－5＝－5－4x＋15－4x＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，上式等号成立．故当x＝1时，ymax＝1.高考调研第18页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)∵x54，∴4x－50.y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3≥2＋3＝5.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上式“＝”成立．即x＝32时，ymin＝5.高考调研第19页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(3)当x≥2时，y＝4x－2＋14x－5为增函数，∴ymin＝4×2－2＋14×2－5＝193.【答案】(1)1(2)5(3)193高考调研第20页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究1用均值定理求最值要注意三个条件一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)，“二定”不满足时，需变形如例(2)，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例(3)．高考调研第21页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题1(1)已知函数y＝16x2－28x＋114x－5.①当x≤45时，求y的最大值；②当x≠54时，求y的值域；③当0x54时，求y的最大值．高考调研第22页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习(2)自己总结形如y＝Ax2＋Bx＋Cx或y＝xAx2＋Bx＋C的一类函数的值域或最值的求法．高考调研第23页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】(1)①设4x－5＝t，则x＝t＋54.∵x≤45，∴t≤－95.∴y＝t2＋3t＋1t＝t＋1t＋3.设g(t)＝t＋1t，∴g′(t)＝1－1t2＞0.∴g(t)在(－∞，－95]上为增函数．∴ymax＝－95－59＋3＝2945.高考调研第24页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习②设4x－5＝t，则t≠0.∴y＝t＋1t＋3.当t＞0时，y≥2＋3＝5；当t＜0时，y≤－2＋3＝1.∴函数的值域为(－∞，1]∪[5，＋∞)．高考调研第25页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习③x∈(0，54)时，t∈(－5,0)．y＝t＋1t＋3,y′＝1－1t2.令y′＝0，得t＝－1.t∈(－5，－1)时，y′＞0.t∈(－1,0)时，y′＜0.∴t＝－1时，ymax＝1.【答案】(1)①2945②(－∞，1]∪[5，＋∞)③1(2)略高考调研第26页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习题型二利用基本不等式求二元函数的最值例2(1)已知x0，y0，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值．【解析】∵x＋2y＝1，∴1x＋1y＝(1x＋1y)·(x＋2y)＝3＋xy＋2yx≥3＋2xy·2yx＝3＋22.高考调研第27页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习当且仅当xy＝2yx，x＋2y＝1，即x＝2－1，y＝1－22时取等号．故1x＋1y的最小值为3＋22.【答案】3＋22(2)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．高考调研第28页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【解析】方法一：减少元素个数．根据条件1x＋9y＝1解出y，用只含x的代数式表示y，代数式x＋y转化为只含x的函数，再考虑利用基本不等式求出最值．由1x＋9y＝1，得x＝yy－9.高考调研第29页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习∵x0，y0，∴y9.∴x＋y＝yy－9＋y＝y＋y－9＋9y－9＝y＋9y－9＋1＝(y－9)＋9y－9＋10.∵y9，∴y－90.∴y－9＋9y－9＋10≥2y－9·9y－9＋10＝16.高考调研第30页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习当且仅当y－9＝9y－9，即y＝12时取等号．又1x＋9y＝1，则x＝4.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.高考调研第31页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法．∵1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)·(1x＋9y)＝10＋yx＋9xy.∵x0，y0，∴yx＋9xy≥2yx·9xy＝6.高考调研第32页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习当且仅当yx＝9xy，即y＝3x时，取等号．又1x＋9y＝1，∴x＝4，y＝12.∴当x＝4，y＝12时，x＋y取最小值16.【答案】16高考调研第33页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究2(1)要创造条件应用均值定理：和定积最大，积定和最小．多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值．(2)注意“1”的代换技巧．(3)本题(1)易错解为：1＝x＋2y≥22xy，∴xy≤24.∴1x＋1y≥2xy≥82＝42.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立．高考调研第34页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习思考题2(1)已知1x＋2y＝1(x＞0，y＞0)，求x＋y的最小值．(2)已知正数x，y满足x＋y＝4，求1x＋2y的最小值．【解析】(1)x＋y＝(x＋y)·(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22.(2)1x＋2y＝(1x＋2y)·x＋y4＝14(3＋yx＋2xy)≥3＋224.【答案】(1)3＋22(2)3＋224高考调研第35页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习例3若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，求：(1)ab的取值范围；(2)a＋b的取值范围．题型三利用基本不等式求参数的取值范围【解析】(1)∵ab＝a＋b＋3≥2ab＋3，令t＝ab0，∴t2－2t－3≥0，∴(t－3)(t＋1)≥0.∴t≥3即ab≥3，∴ab≥9，当且仅当a＝b＝3时取等号．高考调研第36页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习【答案】(1)[9，＋∞)(2)[6，＋∞)(2)∵ab＝a＋b＋3，∴a＋b＋3≤(a＋b2)2.令t＝a＋b0，∴t2－4t－12≥0，∴(t－6)(t＋2)≥0.∴t≥6即a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．高考调研第37页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习探究3利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，第二问也可用如下方法求解：由已知b＝a＋3a－10，∴a－10，∴a＋b＝a＋a＋3a－1＝a＋a－1＋4a－1＝a＋1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋2≥6.高考调研第38页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．思考题3【解析】由基本不等式，得xy≥22xy＋6.令xy＝t得不等式t2－22t－6≥0，解得t≤－2(舍去)或者t≥32，当且仅当x＝3，y＝6时，取等号．故xy的最小值为18.【答案】18高考调研第39页第七章不等式及推理与证明新课标版·数学（理）·高三总复习例4(1)已知a，b，c∈R，求证：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．【证明】∵a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋