教辅-高考数学大二轮专题复习：概率与统计之排列、组合、二项式定理

专题七概率与统计第二编讲专题第1讲排列、组合、二项式定理「考情研析」1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主．2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识．1核心知识回顾PARTONE核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．排列排列数公式：Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)＝(m≤n，m，n∈N*).2．组合(1)组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝＝(m≤n，m，n∈N*)，由于0！＝1，所以C0n＝1.□01n！（n－m）！□01n（n－1）…（n－m＋1）m（m－1）…1□02n！m！（n－m）！核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)组合数的性质：①Cmn＝Cn；②Cmn＋1＝Cn＋Cn.3．二项式定理(1)二项展开式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋＋…＋Cnnbn(n∈N*).通项：Tk＋1＝(k＝0，1，2，…，n).□03n－m□04m□05m－1□01Cknan－kbk□02Cknan－kbk核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)二项式系数的有关性质①二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝；②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中的各项系数和为f(1)，奇数项系数和为a0＋a2＋a4＋…＝f（1）＋f（－1）2，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．□032n－1□04f（1）－f（－1）22热点考向探究PARTTWO核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向1两个计数原理例1(1)(2020·北京市房山区二模)李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是()A．12B．13C．14D．15答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析将5月剩余的30天依次编号为1，2，3，…，30，因甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为4，8，16，20，28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为7，14，共2天；所以李明需要去配送的天数为10＋5＋0＋2＝17，所以整个5月李明不用去配送的天数是30－17＝13.故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A．72种B．48种C．24种D．12种答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析解法一：首先涂A有C14＝4种涂法，则涂B有C13＝3种涂法，C与A，B相邻，则C有C12＝2种涂法，D只与C相邻，则D有C13＝3种涂法，所以共有4×3×2×3＝72种涂法.解法二：按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类：一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．所以不同的涂法共有24＋24×2＝72种．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又有可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生共有种选考方法()A．6B．12C．18D．24答案C核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析①从物化生中选一科，从史地政中选两科，有C13C23＝9种，②从物化生中选两科，从史地政中选一科，有C23C13＝9种，所以共有9＋9＝18种．故选C.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．将一个四棱锥的每个顶点染上1种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法有()A．48种B．72种C．96种D．108种答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析如图所示，若点B与D处所染颜色相同，则不同的染色方法有4×3×2×2＝48种；若点B与D处所染颜色不相同，则不同的染色方法有4×3×2×1＝24种，由分类加法计数原理可知不同的染色方法有48＋24＝72种．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向2排列与组合问题例2(1)从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解.①当选数字0时，再从1，3，5中取2个数字排在个位与百位，因此排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1，3，5中取2个数字有C23种方法，然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列，因此排成的三位奇数有C23C12A22＝12个.所以由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省实验中学高考预测卷)从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天，若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为(用数字作答).答案5040解析根据题意，分2种情况讨论，若只有甲、乙其中一人参加，有C12C46A55＝3600种情况；若甲、乙两人都参加，有C22A36A24＝1440种情况，则不同的安排种数为3600＋1440＝5040.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解答排列组合问题的常用方法排列组合问题从解法上看，大致有以下几种：(1)有附加条件的排列组合问题，大多需要用分类讨论的方法，注意分类时应不重不漏．(2)排列与组合的混合型问题，用分类加法或分步乘法计数原理解决．(3)元素相邻，可以利用捆绑法．(4)元素不相邻，可以利用插空法．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(5)定序问题缩倍法．(6)“小集团”问题先整体后局部法．(7)间接法，把不符合条件的排列与组合剔除掉．(8)穷举法，把符合条件的所有排列或组合一一写出来．核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业1．(2020·河北省邯郸市二模)2020年3月31日，某地援鄂医护人员A，B，C，D，E，F6人(其中A是队长)圆满完成抗击新冠肺炎疫情任务返回本地，他们受到当地群众与领导的热烈欢迎．当地媒体为了宣传他们的优秀事迹，让这6名医护人员和接见他们的一位领导共7人站一排进行拍照，则领导和队长站在两端且B，C相邻，而B，D不相邻的排法种数为()A．36B．48C．56D．72答案D核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析根据题意，分2步进行分析：①领导和队长站在两端，有A22＝2种情况，②中间5人分2种情况讨论：若B，C相邻且与D相邻，有A22A33＝12种安排方法，若B，C相邻且不与D相邻，有A22A22A23＝24种安排方法，则中间5人有12＋24＝36种安排方法，则共有2×36＝72种不同的安排方法．故选D.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业2．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数14种计算器械的使用方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有()A．C414C510C55A33A22种B．C414C510C55A22A33种C．C414C510C55A22种D．C414C510C55种答案A核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析先将14种计算器械分为三组，方法有C414C510C55A22种，再排给3个人，方法有C414C510C55A22×A33种．故选A.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业考向3二项式定理例3(1)二项式x＋2x2n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180B．90C．45D．360答案A解析依题意n＝10，则x＋2x210的通项公式Tr＋1＝Cr10(x)10－r2x2r＝2rCr10x5－52r.令5－52r＝0，得r＝2.∴展开式中的常数项T3＝22C210＝180.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(2)(2020·山东省德州市二模)(x2－x－a)5的展开式的各项系数和为－32，则该展开式中x9的系数是()A．－15B．－5C．5D．15答案B核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析∵(x2－x－a)5的展开式的各项系数和为－32，令x＝1，可得(12－1－a)5＝32，故(－a)5＝－32，解得a＝2，故(x2－x－a)5＝(x2－x－2)5＝(x－2)5(x＋1)5，设(x－2)5的展开式的通项为Ti＋1＝Ci5x5－i(－2)i，设(x＋1)5的展开式的通项为Mr＋1＝Cr5x5－r(1)r，则(x－2)5(x＋1)5的展开式中含x9的项，即Ci5·x5－i·(－2)i·Cr5·x5－r·(1)r＝Ci5·Cr5·(－2)i·x5－r·x5－i＝Ci5·Cr5·(－2)i·x10－i－r中x的幂是9，故10－i－r＝9，可得i＋r＝1.又由0≤i≤5，0≤r≤5，且i，r∈N，可得i＝0，r＝1或i＝1，r＝0.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业当i＝0，r＝1时，Ci5·Cr5·(－2)i·x10－i－r＝C05·C15·(－2)0·x9＝5x9，当i＝1，r＝0时，Ci5·Cr5·(－2)i·x10－i－r＝C15·C05·(－2)1·x9＝－10x9.所以该展开式中x9的系数为－10＋5＝－5，故选B.核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业(3)(多选)(2020·山东省泰安市三模)若(1－2x)2021＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a2021x2021(x∈R)，则()A．a0＝1B．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝32021＋12C．a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32021－12D．a12＋a222＋a323＋…＋a202122021＝－1答案ACD核心知识回顾热点考向探究真题VS押题专题作业解析由题意，当x＝0时，a0＝12021＝1，当x＝1时，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2021＝(－1)2021＝－1，当x＝－1时，a0－a1＋a2－a3＋…－a2021＝32021，所以a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝－32021＋12，a0＋a2＋a4＋…＋a2020＝32021－12，a12＋a222＋…＋a202122021＝a1×12＋a2×122＋…＋a