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物理奥林匹克竞赛训练(2)１.一根质量为m、长为l的均匀横梁，需要用两只雪橇在水平雪地上将其保持水平状态运送。简化其过程如图（甲）所示。雪橇均与横梁固连，下端B与雪地接触，假定触地面积很小。用一距地h的水平牵引力F作用于前方雪橇，前后雪橇与雪地的动摩擦因数分别为μ1、μ2。在前后雪橇均与雪地接触时，使横梁沿雪地匀速向前移动，则h应满足什么条件？F应多大？（雪橇质量可忽略不计）２、如图所示，在光滑的水平桌面上，物体A跟物体B用一根不计质量的弹簧连接，另一物体C跟物体B靠在一起，但并不跟B连接，它们的质量分别是mA=o.2kg,mB=mC=0.1kg,现用力将C、B和A压在一起，使弹簧缩短，这过程中，外力对弹簧做功为7.2J。弹簧仍在弹性限度以内，然后，从静止状态释放三物体。求：（1）弹簧伸长昀大时，弹簧的弹性势能。（2）弹簧从伸长昀大回复到自然长度时，A、B的速度。３、如图所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦因数41=μ，现将弹簧拉长1cm后静止释放。试求：（1）物块获得的昀大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动。2N1Nmgh1f2f)(乙PQFAABBlh1μ2μ)甲mtoxk1cmx４.如图所示，某一足够大的真空中，虚线PH右侧是磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，左侧是一场强为E、方向水平向左的匀强电场.静止于虚线PH上的一点O处的镭核22688Ra水平向右放出一个α粒子而衰变成氡核22286Rn，设α粒子与氡核分离后它们之间的作用可忽略不计，涉及动量问题时亏损的质量不计，重力不计.LABPHEO(1)写出镭核衰变的核反应方程.(2)若经过一段时间，α粒子刚好到达虚线PH上的A点，测得OA=L，求此时氡核的速率.(已知α粒子的比荷为b)５、如图所示电路中，电源内阻可略，电动势都是30V，Ω==Ω=kRRkR10,5210。将K依次接“1”和“2”时，各电阻上的电流强度是多少？dc、两点谁的电势高？６：如图所示，将均匀细导线做成的圆环上任意两点A和B与固定电源连接起来，计算由环上电流引起的环中心的磁感强度。７：已知基态He+的电离能为E=54.4Ev，（1）为使处于基态的He+进人激发态，入射光子所需的昀小能量应为多少？（2）He+从上述昀底激发态跃迁返回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？（离子He+的能级En与n的关系和氢原子能级公式类中，可采用合理的近似。）IBIOabcd12K0R1R2R参考答案:１．分析：系统受力如图11-78（乙）所示。其中1N、2N分别为地对雪橇的支持力，1f、2f分别为地对雪橇的摩擦力。由题意易知，F不能太大，h不能太高，否则2N、2f将会变为0，系统将以P为轴翻倒，此为临界状态。在这种情况下，所求问题与2μ无关。由一般物体的平衡条件即可解决。解：根据平衡条件得2121,NNmgffF+=+=其中222111,NfNfμ=μ=以P为轴可得mgllNFh212=+由以上几式联立可得mghlllN)(212112μ−μ−μ−=（1）mghllF)(2/)(2121μ−μ−μ+μ=（2）依照题意，应有2,0NF≥0所以由（1）式得⎟⎞⎜⎝⎛μ−hl121≥0（3）由（2）式得[]0)(21μ−μ−hl（4）（3）、（4）式联立得h≤12μl（5）在满足（5）式条件下，所求F即为（2）式结果。２．解：（1）从释放弹簧到弹簧达到自然长度的过程以A、B、C和弹簧为系统，动量守恒0=mAVA+(mB+mC)VBC(1)机械能守恒E弹=7.2J=121222()mmVmVBCBCAA++(2)由（1）（2）解出VA=6m/s(向右)VBC=-6m/s(向左)此后由于C不受B的作用力将以V=6m/s匀速运动，B、C开始脱离，A、B受弹力作用将做减速运动，它们的加速度随时间而改充，但每时刻：aB=2aA从弹簧处于自然长度到伸长昀大的过程，以A、B和弹簧为系统，动量守恒mAVA+mBVB=mAVA'+mBVB'(3)机械能守恒122mVAA+122mVBB=122mVAA'+122mVBB⋅'+E弹（4）分析可知：这个过程的一个阶级内弹力对A、B做负功，它们的动能减少系统弹性势能增加，由于每时刻有aB=2aA,物体B速度先减小到0时，此时A的速度仍向右，B开始向右加速运动，只要UA＞UB弹簧继续伸长，直到UA’=UB’时，弹簧伸长昀大。由（3）（4）解出UB’=UA’=2m/s此时弹簧弹性势能E弹=4.8J（2）从弹簧伸长昀大回到自然长度的过程，A、B和弹簧为系统动量守恒mVAA⋅'+mVBB⋅'=mVAA+mVBB（5）机械能守恒122mVAA+122mVBB+E弹=122mVAA+122mVBB（6）即：此时A向左运动，速度大小为2m/s,B向右运动，速度大小为10m/s。３．解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。（1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达昀大速度。由μmgkx=，)(03.02504130cmggkmgx=×==μ再由能量守恒：2max2202103.021)03.01(21mvkmgkx+×+−=μ代入已知数据得)/485maxscmv=（2）设物体第一次回程中，弹簧的昀大压缩量为1x′，则)(2121102120xxmgxkkx′+=′−μkmgxxμ210=′−∴再设物体第一次返回中，弹簧的昀大拉伸量为1x，则)(2121112121xxmgkxxk+′=−′μkmgxxμ211=−′∴可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为)(50310002504110003022cmkmg=××××=μ而cmcm06.0)(04.01650/31=故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方。４.答案：(1)22688Ra→22286Rn+42He(2)vRn′=vRn+aRnt=111bBL+BE111π86解：(1)镭衰变的核反应方程式为：22688Ra→22286Rn+42He(2)α粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动R=Bqvmααα=2L,t=21Tα=Bqmααπ=Bbπ衰变时，根据动量守恒有：mαvα=mRnvRn所以有：vRn=Rnααmvm=111111ααbBLmBLq=氡在电场中做匀加速运动且aRn=RnRnmEq=11186Eb所以有：vRn′=vRn+aRnt=111bBL+BE111π86.５．分析一般情况下，我们总是认为二极管为理想情形，正向导通时0=正R，反向截止时，∞→反R为断路。解（1）K接1时，靠直流电源供电，此时1D导通，2D截止。有adRUUI==，02＞cUmARRIIR21011=+==εVRIUURdc20111===（2）K接“2”时，交流电源供电，1D、2D交替的导通和截止，设,sintemωε=εε2=m，如图5-4-20所示。在正半周期，1D导通，通过1R电流)(sin22sin10101mAttRRRReimRωωε=+=+=在负半周期，2D导通，1D截止，通过2R的电etmεmε−0图5-4-20流)(sin22sin20202mAttRRRReimRωωε=+=+=由于0R始终有电流通过，所以0R、1R、2R的电流如图5-4-21甲、乙、丙所示。0R的电流有效值mARRRIRo2)(2100=+=或ε21RR、只有在半个周半个周期内通电流，所以可求得其有效值mAmAIIRR41.1221===。在正半周期adUU=＞cU在负半周期dU＞cU=cU所以d、c两点间总有dU＞cU６．分析：磁感强度B可以看成圆环上各部分(将圆环视为多个很小长度部分的累加)的贡献之和，因为对称性，圆环上各部分电流在圆心处磁场是相同或相反，可简化为代数加减。解：设A、B两点之间电压为U，导线单位长度电阻ρ，如图3-2-10所示，则二段圆环电流ραRUI=1ραπ⋅−=RUI)2(2磁感强度B可以是圆环每小段lΔ部分磁场BΔ的叠加，在圆心处，BΔ可表达为RlIkBΔ⋅=Δ，所以：αα11111kIRRIkRlIkB=⋅==)2()2(22222απαπ−=⋅−⋅==kIRRlkRlIkB因ραπραRIRI)2(21−=故21BB=，即两部分在圆心处产生磁场的磁感强度大小相等，但磁场的方向正好相反，因此环心处的磁感强度等于零。７．分析:第（1）问应正确理解电离能概念。第（2）问中若考虑核的反冲，应用能量守恒和动量守恒，即可求出波长变化。解:（1）电离能表示He+的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量。而题问昀小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以图5-4-21t02222−mAiRO/甲t022mAiR/1乙t022−mAiR/2丙图3-2-10RBΔBAαα−π2I1I2=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅=22min2111EE54.4=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−×41140.8eV（2）如果不考虑离子的反冲，由第一激发态迁回基态发阜的光子有关系式：0minhvE=现在考虑离子的反冲，光子的频率将不是0v而是v，221Mv为反冲离子的动能，则由能量守恒得2min21MvhvE+=又由动量守恒得cvhMv⋅=式中Mv是反冲离子动量的大小，而cvh⋅是发射光子的动量的大小，于是，波长的相对变化hvhvhvvvvoo−=−=−=Δ00λλλλολ=222222MchvMcMvcMvcMv==由于()02vvhhvMc−所以2020022)(2MchvMcvvhMchv−==Δλλ代入数据()9282719104.51031067.1421060.18.40−−−×=××××××=Δoλλ即百分变化为0.00000054%