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物理奥林匹克竞赛训练(1)1、长为L的细绳一端固定于O点，如图所示，另一端拴一质量为m的小球，把线拉至最高点A以水平抛出，求当v0为下列值时，小球运动到最低点C时线中的张力大小。（1）v0=2gL（2）20gLv=２、如图所示，平板车的质量为2m，长为l，车右端(A点)有一块质量为m的小金属块，都静止在水平地面上。金属块与车间有摩擦，并且在AC段与CB段摩擦因数不同，而车与地面间摩擦可忽略。现给车施加一个向右的水平恒力，使车向右边运动，并且金属块在车上开始滑动，当金属块滑到车的中点C时，即撤去这个力。已知撤去力的瞬间，金属块的速度为vO，车的速度为2vO，并且最后金属块恰停在车的左端(B点)与车共同运动。(1)最后车与金属块的共同运动速度多大?(2)如果金属块与车在AC段的摩擦因数为μ1，在CB段的摩擦系数为μ2，求μ1与μ2的比值。3、2002年12月30日凌晨，“神舟四号”飞船发射升空，飞船按预定轨道在太空飞行六天零十八小时（用表示），环绕地球一百零八圈（用n表示），返回舱于2003年1月5日顺利返回地面。“神舟四号”运行过程中由于大气摩擦等因素，会逐渐偏离预定的轨道，因此“神舟四号”先后进行了三次精确的“轨道维持”（通过发动机向后喷气，利用反冲校准轨道）。设总质量为m的“神舟四号”飞船的预定圆形轨道高度为h，当其实际运行高度比预定轨道高度衰减了△h时，控制中心开始启动轨道维持程序，开始小动量发动机，经时间△t后，飞船恰好重新进入预定轨道平稳飞行。地球半径为R，地球表面重力加速度为g。（1）求“神舟四号”轨道离地面高度h的表达式（用题中所给的数据表示）；（2）已知质量为m的物体在地球附近的万有引力势能2PRmgEr=−（以无穷远处引力势能为零，r表示物体到地心的距离），忽略在轨道维持过程中空气阻力对飞船的影响。求在轨道维持过程中，小动量发动机的平均功率P的表达式（轨道离地面高度h不用代入（1）问中求得的结果）。４．一水平放置的圆盘绕竖直固定轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2mm的均匀狭缝．将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器连续向下发射激光束．在圆盘转动过程中，当狭缝经过激光器与传感器之间时，传感器接收到一个激光信号，并将其输入计算机，经处理后画出相应图线．图(a)为该装置示意图，图(b)为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中Δt1=1．0×10-3s，Δt2=0．8×10s．(1)利用图(b)中的数据求1s时圆盘转动的角速度；(2)说明激光器和传感器沿半径移动的方向；(3)求图(b)中第三个激光信号的宽度Δt3．５．如图所示，一长为L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m。玻璃管右边的空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。磁场的左边界与玻璃管平行，右边界足够远。玻璃管带着小球以水平速度垂直于左边界向右运动，由于水平外力的作用，玻璃管进入磁场后速度保持不变，经一段时间后小球从玻璃管端滑出并能在水平面内自由运动，最后从左边界飞离磁场。设运动过程中小球的电荷量保持不变，不计一切阻力。求：(1)小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；(2)从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系；(3)小球飞离磁场时速度的方向。Bv0Lab６、横截面积为S和αS(α＞1)，长度相同的两圆柱形“对接”的容器内盛有理想气体，每个圆筒中间位置有一个用硬杆想连的活塞，如图所示。这时舱Ⅰ内气体压强为1p，舱Ⅲ内气体压强为1pβ，活塞处于平衡，整个系统吸收热量Q，温度上升，使各舱温度相同。试求舱Ⅰ内压强的变化。1mol气体内能为CT(C是气体摩尔热容量)，圆筒和活塞的热容量很小，摩擦不计。７．如图所示，一半径为R、折射率为n的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为0h的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．Ox为以球心O为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴Ox上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．ⅠⅡ参考答案:1.解：（1）由于v0=2gL大于作圆周运动最高点的最小速度gL，故小球做圆周运动。由机械能守恒得：22021221mvmgLmv=+又T-mg=mLv2故T=9mg（2）由于20gLv=小于作圆周运动最高点的最小速度gL，故小球开始做平抛运动。设小球运动到B点时绳张紧，此时悬线与水平方向夹角为θ，由平抛运动规律有：Lcosθ=v0tL(1-sinθ)=21gt2得θ=0°说明B与O在同一水平线上。此时vBx=20gLv=,vBy=gL2。接着，由于绳子瞬时张紧，产生瞬时冲量，使小球水平冲量变为零，机械能损失。然后小球以gL2的速度从召开始作圆周运动到C点，机械能守恒有：222121CBymvmgLmv=+,在最低点有：T-mg=Lmvc2,故小球在最低点C时绳的拉力T=5mg２解:（1）以车与小金属组成物体系为研究对象，小金属滑到车中点C时开始到小金属块停在车的左端为止的过程中，体系在水平方向外力为零，动量守恒，v为共同速度2vO×2m+vOm=(2m+m)vv=35vO(2)对金属块使用动量定理ft1=mvO-0μ1mgt1=mvOt1=gvO1μ对小车使用动量定理(F-f)t1=2m×2vO-0F=5μ1mg金属块由A→C过程中作匀加速运动a1=mf=gmmg11μμ=小车加速度gmmgmgmfFa11122252μμμ=−=−=金属块相对小车位移21112112))(2(21)(212gvggtaalsOμμμ−=−==glvO21=μ在金属块由C→B过程中Ovmvmmgt×−×=02235μgvtO2232μ=小车加速度gmmgmfa22'22122μμ−=−=−=金属块加速度ga2'1μ=金属块与小车相对位移22222'2'1)32(2321)(212gvgtaalOμμ××=−=lg3222Ov=μ2321=μμ3答案：（1）223224RgthRnπ=−（2）卫星的动能EK=mv2/2=GMm/2r=R2mg/2r卫星的机械能为E=EP+EK=-R2mg/2r由发动机做功W=E2-E1及P=W/t有222RmgRmgPtRhhRh⎛⎞=−⎜⎟+−+⎝⎠++４．(1)由图线读得，转盘的转动周期T＝0．8s①角速度26.28/7.85/0.8radsradsTπω===②(2)激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动(理由为：由于脉冲宽度在逐渐变窄，表明光信号能通过狭缝的时间逐渐减少，即圆盘上对应探测器所在位置的线速度逐渐增加，因此激光器和探测器沿半径由中心向边缘移动)．(3)设狭缝宽度为d，探测器接收到第i个脉冲时距转轴的距离为r1，第i个脉冲的宽度为△ti，激光器和探测器沿半径的运动速度为v．2iidtTrπΔ=③r3－r2＝r2－r1＝vT④r2－r1＝2111()2dTttπ−ΔΔ⑤r3－r2＝3211()2dTttπ−ΔΔ⑥由④．⑤．⑥式解得：33312333121.0100.8100.6710221.0100.810tttstt−−−−−ΔΔ×××Δ==≈×Δ−Δ××−×○7５．（1）如图所示，小球管中运动的加速度为：0yFBvqamm==①设小球运动至b端时的y方向速度分量为vy，则：22yvaL=②xvvyv0vROααx1xy0又：220yvvv=+③由①～③式，可解得小球运动至b端时速度大小为：2002BvqvLvm=+④（2）由平衡条件可知，玻璃管受到的水平外力为：F=Fx=Bvyq⑤0yBvqvattm==⋅⑥由⑤～⑥式可得外力随时间变化关系为：F=220Bvqtm⋅⑦（3）设小球在管中运动时间为t0，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，轨迹如图所示，t0时间内玻璃管的运动距离x=v0t0⑧2012Lat=⑨由牛顿第二定律得：2mvqvBR=⑩由几何关系得：1sinxxRα−=○111yvxRv=○12由①～②、⑧～○12式可得：sinα=0○13故0α=D，即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左。６．解：设iV、ip、ir分别为第i个舱内气体的体积、压强的摩尔数。容器内气体总摩尔数321γγγγ++=，因为各舱温度皆为T，利用克拉珀龙方程得RTRTVpVpVpγγγγ=++=++)(32132211①取得中打斜线的活塞与硬杆为研究对象，由平衡条件得SppaSpp)()(2123−=−②而由题意13ppβ=③及SlV21=、)(22aSSlV+=、lSaV23=得)1()1(21−βα−αγ=SlTRp④系统吸收热量后，假设活塞不移动，显然Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ舱气体都作等容升温变化，因题中明确三舱升高的温度相同，因而由CTP=可知三舱气体的压强都增加相同的倍数，即方程②仍然满足，这说明升温过程中活塞确实不移动，即方程④也仍然成立。因TCQΔ=γ结合④式易得Ⅰ舱内气体压强的变化)1()1(21−−=ΔβααCSlQRp。说明利用②式和③式可得1112−−=ααβpp显然只有当αβ＞1时才有意义。因为压强必须为正值。７．图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为i和i′，折射光线与坐标轴的交点在P。令轴上OP的距离为x，MP的距离为l，根据折射定律，有sinsinini′=（1）在OMPΔ中sinsinlxii=′（2）2222coslRxRxi=+−（3）由式（1）和式（2）得xnl=再由式（3）得2222(2cos)xnRxRxi=+−设M点到Ox的距离为h，有sinhRi=22222cossinRiRRiRh=−=−得2222222xRxxRhn=+−−222221(1)20xxRhRn−−−+=（4）解式（4）可得22222221nRhnRnhxn−±−=−（5）为排除上式中应舍弃的解，令0h→，则x处应为玻璃半球在光轴Ox上的傍轴焦点，由上式2(1)111nnnnxRRRnnn±→=−+−或由图可知，应有xR，故式（5）中应排除±号中的负号，所以x应表示为22222221nRhnRnhxn−+−=−（6）上式给出x随h变化的关系。因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有0hh≥，其中折射光线与Ox轴交点最远处的坐标为22222200021nRhnRnhxn−+−=−（7）在轴上0xx处，无光线通过。随h增大，球面上入射角i增大，当i大于临界角Ci时，即会发生全反射，没有折射光线。与临界角Ci相应的光线有CC1sinhRiRn==这光线的折射线与轴线的交点处于22C221111nRnRnxnn−==−−（8）在轴Ox上CRxx处没有折射光线通过。由以上分析可知，在轴Ox上玻璃半球以右C0xxx≤≤（9）的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。0x与Cx就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示