微元法在解题中的应用

微元法在解题中的应用1、如图所示，质量为M，半径为R的均匀圆环，在其轴线上距离环心为R处放有一质量为m的质点，求环与质点间的万有引力大小。解：取环上很小一段，质量为ΔM则F=22RMmGFx=Fcos450=242RMmG万有引力F=ΣFx=Σ242RMmG=242RMmG2、一半径为R，质量为M的均匀圆绳环，在光滑水平面上以角速度ω绕环心匀速转动，求此时绳中的张力大小。解：取一微元，其长度为ΔS(ΔS0)，则质量为ΔSM/2πR∵θ=ΔS/R∴2Tsin2=ΔMω2R∵θ很小sin2=2=RS2得T=22RM3、如图所示，在光滑的水平面上有一竖直向下的匀强磁场分布在宽度为a的区域内，现有一个边长为L（aL）的正方形闭合线框以初速度v1垂直磁场边界滑过磁场后速度变为v2，求线框完全进入磁场时的速度。解：线框开始进入磁场受安培力tvmRvLB22∴vmRtvLB22vmRSLB22∵ΣΔS=LΣΔv=v1-v∴v1-v=mRLB32同理v-v2=mRLB32∴v=221vvv2aLv1mRROT4、将质量为m的小球从某高处以初速度v0竖直抛出，当小球落回该抛出点时速度为v1。已知小球在运动过程中受到空气阻力大小与小球的速度大小成正比，求小球从抛出到落回原处所用时间。解：上升mg+kv=mtv∴mgΔt+kvΔt=mΔv∴mgΔt+KΔs=mΔv得Δt=mgsvmkΣΔt=t上=mgkhmv0同理下降mg-kv=mtvΣΔt=t下=mgkhmv1t=t上+t下=gvv105、如图所示，一质量分布均匀的绳子竖直地悬挂在天花板上，下端恰好触及水平地面。如果把绳的上端放开，试证明在绳下落的任一时刻，绳作用于地面的压力3倍于已经落到地面上那部分绳的重力。证明：设某时刻t1，落到地面上的绳长为x，此时绳下落的速度为v，绳的线密度为ρ。再经极短时间Δt，则又有Δm=vΔtρ的绳落到地面上静止。v=gx2因Δt极短，则Δm的速度可视为v不变，∴(F-Δmg)Δt=-Δmv=-v2Δtρ得(F-Δmg)=-v2ρ=-2gxρ=-2mg因时间极短Δmg可不计，F=-2mgN=F/+mg=3mg6、一架质量M=810kg的直升飞机，靠螺旋浆的转动使面积S=30m2内的空气以v0的速度向下运动，从而使飞机悬停在空中。已知空气密度ρ0=1.2kg/m3,试求空气速度v0的大小，并计算飞机发动机的功率。解：在极短时间Δt内，有体积为v0ΔtS的空气被螺旋浆推动向下运动，F=Δma=Δmtv0=v0ΔtSρ0tv0∵Δt极短空气重力不计，F=Mg,∴v0=SF=15m/sP=Fv=8100×7.5=6.1×104W