数学竞赛论-2-2几何

数学竞赛中的几何问题欧几里得几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值（许多科技工作者由此而启蒙），因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO届届必考的内容，少则1题，多则2~3题．我国高中联赛加试（二试）和冬令营考试，也是年年必有平面几何题．IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主．立体几何题从第22届（1981年）开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难．一、数学竞赛中的几何问题的三个层次1．第一层次，中学几何问题．这是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明题，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、变化余地大、综合性也强，是编拟竞赛试题的优质素材．2．第二层次，中学几何的拓展这是比中学教材要求稍高的内容，如共点性、共线性、几何不等式、几何极值等．这些问题结构优美，解法灵活，常与几何名题相联系．有时还可用几何变换来巧妙求解．3．第三层次，组合几何——几何与组合的交叉这是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质．所涉及的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质．这类问题在第六届IMO（1964）就出现了，但近30年，无论内容、形式和难度都上了新的台阶，成为一类极有竞赛味、也极具挑战性的新颖题目．这类问题离不开几何知识的运用、几何结构的分析，但关键是精巧的构思．不仅在组合设计中需要，在组合计数中也少不了构思．二、IMO中几何问题的主要特征IMO1-50届各类试题统计表代数（82）几何（93）数论（58）组合（63）其他（6）每届合计代数方程多项式不等式极值数列函数方程复数、三角平几证明平几轨迹平几作图立体几何离散数学组合几何合计11622413197673617583033630212，3546162234,75,6173132,4566424653,71751，45326662,36145672，4153668542,631695,642316103512,646116243156123152,4661．数量较多由上表可知，在302道IMO试题中，第一、二层次的几何题有93道，第三层次的几何题有33道，共计126道，占131432,566144561,326153652,4161665234161712634561852461361926413,562053421662156341262261,53,42623312,54662412,63,54625142,63,5626361,5426275413,62628342615629431,5626302,451,636314132,656321,52,34,6633241,653634152,4636351523,46636241,56363732,5461638325,64163961,53,4264026543164121,654364221,54,6364352,63,4164453,42,6164521,5634646341,526647531,64264812,4536649241,63565032,41656总题量的42%，平均到每一届至少有两道．在几何内容中，平面几何占四分之三以上，立体几何从22届开始已连续29年没有出现，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难．平面几何内容之所以受到命题者的重视，是因为中学教材中最适合做竞赛题的首推平面几何．另外，随着参赛队的增多，占压倒多数的弱队都希望有些常规题，来确定自己的队员不至于背着零分回国．正是在这样的背景下，每届IMO都有几何题，少则一道，多则三道．22．难度适中平面几何的一个特点就是能够提供各种层次、各种难度的题目，它离中学教材最近，并且很容易花样翻新，是数学竞赛中一个方便而丰富的题源．统计显示，常规几何题大多为第1、4题，至多为第2、5题，只有极个别的情况下才为第3、6题．这反映了主试委员会选题时有一种由易到难的顺序心理，如果选一道几何题，通常是选容易的，作1、4题；如果选两道几何题，那就再添一道稍难的．之所以常规几何题的难度多为中低档，不是几何中找不到难题，而是作为竞赛数学的构成中，还有比常规几何更难的部分．已经有人分析指出，数学竞赛中，“与中学教材距离最近的首推几何，而最远的当然是组合数学．因此，在每届IMO的6道试题中，几何题经常是较易的、常规的题目；组合题往往是非常规的难题．前者反映了弱国的要求，而后者则适应强国的愿望．”事实上，IMO的命题是常规与非常规题之间，弱队与强队之间互相制约又协调统一的结果．对于弱队，难度适中的几何题是得分的主要来源；而对于强队，几何题则是拉开对手距离、确保夺冠的重要战场．原因是，难题对每一个队都难，那个强队也不敢保证自己的选手全部不落马翻车，但是这个队有一、二名队员翻车，那个队也有一、二名队员翻车，总体上只影响选手个人的成绩，而不影响全队的总分．至于中下档的题目则就不一样了，有的强队是可以做到少丢分或不丢分的，因此，某个强队一旦在几何问题上有一、二名选手翻车，则夺魁也就随之成为泡影．中国队这几年在IMO中的成绩，几何上的优势功不可没．最近几届IMO中，中国选手的几何题绝大多数为满分，个别的只被扣掉1、2分．3．方法多样IMO中的几何题几乎涉及所有的平面几何方法，主要有三大类：⑴综合几何法．（平面几何因主要用综合几何，我们把综合几何理常用的方法称为综合几何法）IMO中的几何题以常规题为主，因而大多可以用综合几何的方法来求解，如全等法、相似法、面积法等．其中出现频率较大的是与圆有关的命题．⑵代数演算法．IMO中的几何题也考查用代数方法处理几何问题的能力，如代数计算法，复数法，坐标法，三角法和向量法等，但不占优势，另有些几何不等式经过变换之后，就成为正数的代数不等式了（如图），反之，也可以把代数问题转化为几何问题．xzczybyxa,,⑶几何变换法.有平移、旋转、对称、位似、反演等.4．组合几何的异军突起组合几何的问题在第六届（56IMO）就出现，但近30年来，随着组合数学对竞赛的大规模介入，组合几何在内容、形式和难度上都上了新的台阶．成为一类极有竞赛味也极具挑战性的新颖题目．组合几何诞生于20世纪五六十年代，是用组合数学的成果来解决几何学中的问题，主要研究几何图形的拓扑性质和有限制条件的欧几里得性质，所牵涉的类型包括计数、分类、构造、覆盖、递推关系以及相邻、相交、包含等拓扑性质，在历届IMO中，已出现33道此类问题．三、数学竞赛中几何问题的基本内容BACxxzzyy图主要有4个定义，16条定理．定理1对任意三个点A，B，C，有BCACAB．等号成立当且仅当点C落在线段AB之间，或A，B，C三点重合．定义1点集的直径是指两个端点都属于这个集合且长度达到最大值的线段（一个点集可能有多条直径，也可能没有直径）．定义2如果对点集A中的任意两点，以这两点为端点的线段包含在A里，则集合A称为是凸的．定理2任意一个凸n边形（3n）的n个内角之和等于180)2(n；外角和为1802（每一个顶点处只计算一个外角）．定义3设nMMM,,,21是多边形，如果nUMUUMMM21并且当ji时，iM与jM没有公共的内点，则称多边形M剖分为多边形nMMM,,,21．定义4如果凸多边形N的所有顶点都在凸多边形M的边上，则称多边形N内接于多边性M．定理3凸四边形ABCD内接于圆的充分必要条件是：180DCBBADCDAABC．（四点共圆）定理4凸四边形ABCD外切于圆的充分必要条件是ADBCCDAB．定理5圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（相交弦定理）定理6从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．（切割线定理）定理7在ABC中，三边长为cba,,，半周长为Rcbap),(21是外接圆半径，r为内切圆半径，ah是边BC上的高，ar是与边BC，AB，AC的延长线相切的旁切圆的半径，则ABC的面积S为：aahS21)1(.AbcSsin21)2(.))()(()3(cpbpappS.RabcS4)4(.rpS)5(.)(21)6(acbrSa.)2sin2sin2(sin21)7(2CBARS.)2sin2sin2(sin2)8(2CBARS.定理8在ABCRt中，222abc.1(),22crabcR.2222,2,.,.amnbmnmnmncmn一奇一偶定理9设AD是ABC中A的平分线，则DCBCACAB.定理10在ABC中，有RCCBbAa2sinsinsin)1(.（正弦定理）BaccabAbccbacos2,cos2)2(222222Cabbaccos2222（余弦定理）CCBCBAcossinsin2sinsinsin)3(222定理11一直线截ABC的边BC，CA，AB或其延长线于D，E，F，则1FBAFEACEDCBD.（梅内劳斯定理）定理12设O是ABC内任意一点，AO，BO，CO分别交对边于D，E，F，则1FBAFEACEDCBD，（塞瓦定理）定理13在ABC中，D是BC上一点，则22222BCABDCBDBCABDCACBDAD.（斯特沃尔特定理）定理14过三角形外接圆上任意一点作三边的垂线，则三垂足共线.（西姆松定理）定理15若四边形的两对边的乘积之和等于它的对角线的乘积，则该四边形内接于一圆，反之亦真．（托勒密定理）定理16设P是ABC内一点，其到三边的距离分别为PD，PE，PF，则)(2PFPEPDPCPBPA等号成立当且仅当ABC为正三角形，且P是ABC的重心．（厄尔斯——摩德尔定理）例题讲解（常规几何题）例1（作业）证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u、v满足1512uv．[“《数学周刊》杯”2007全国初中数学竞赛试题]讲解有两种思维水平的处理．水平1（参考答案）设任意ABC的三边长为,,abc，不妨设abc．若结论不成立，则必有152ab，①152bc．5分②记,,bcsabtcst显然0,0st，代入①得11515,,221stcstccscsc令,stxycc，则115,12xyx③由abc，得cstcsc，即tc，于是1tyc．由②得1512bcsxcc，④由③，④得155115111222yx，⑤此式与1y矛盾，从而命题得证．15分评析这个证明写得很曲折，其实③式就是①式、④式就是②式，解题的实质性进展在两个知识的应用上．（1）三角形基本定理：三角形两边之和大于第三边．使用“增量法”，引进四个参数,,,stxy推出1tc是基本定理的变形，构成矛盾也是与基本定理的变形1abyc矛盾．（2）特征数据152的性质．这表现在⑤式用到的两个运算152+152=1，152×5112．抓住这两点，立即可得问题的改进解法：若结论不成立，则存在ABC，满足abc，且使152ab，152bc同时成立，得1525115111.22215abccbbb矛盾．故对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u、v满足1512uv．这还只是局部上的修修补补，更关键的是抓住实质性的知识可以构造不等式0()abc（提供不等式）151515152222abc（出现特征数据152）=155115222abbc