上海市长宁、嘉定区2013届高三下学期二模数学（理）试题

上海市长宁、嘉定区2013届高三第二次模拟数学（理）一．填空题（本大题满分56分，共14小题，每小题4分）1．函数)32sin()(xxf的最小正周期是__________．2．若关于x的不等式2230xxa的解集为(,1)m，则实数m_________．3．（理）已知集合331,,0,1xxBaA，若AB，则实数a的取值范围是．4．已知复数z满足1iz＝3，则复数z的实部与虚部之和为__________．5．求值：1220132013201320132013124(2)CCC___________．6．已知向量||).,5(),2,2(bakba若不超过5，则k的取值范围是____________．7．设1,0aa，行列式34210231Dxa中第3行第2列的代数余子式记作y，函数xfy的反函数图像经过点1,2，则a．8．（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是_______．9．（理）已知135sin,53)cos(，且)0,2(),2,0(，则______sin．10．（理）设函数]1,0[,1)0,1[,1)(2xxxxxf，则将)(xfy的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为____________．11．（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件BA的概率)(BAP____________．12．（理）设定义域为R的函数)1(1)1(|1|1)(xxxxf，若关于x的方程0)()(2cxbfxf有三个不同的实数解321,,xxx，则232221xxx____________．是否结束开始1k1kk0562kk输出k理第8题，13.（理）函数1sin)1()(22xxxxf的最大值和最小值分别为mM,，则mM______．14．（理）设nS为数列na的前n项和，若不等式21222manSann对任意等差数列na及任意正整数n都成立，则实数m的最大值为._______二．选择题（本大题满分20分，共4小题，每小题5分）15.已知),(11baA，),(22baB是坐标平面上不与原点重合的两个点，则OAOB的充要条件是（）A．12211ababB.02121bbaaC.2121bbaaD.1221baba16.（理）关于直线，m及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若,,//ml则ml//B．若,//,ll则C．若,//,//ml则ml//D．若lml,//，则m[来源:学科网ZXXK]17.过点(1,1)P作直线与双曲线2212yx交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（）A．存在一条，且方程为210xyB．存在无数条C．存在两条，方程为210xyD．不存在18.（理）已知0a且1a，函数)(log)(2bxxxfa在区间),(上既是奇函数又是增函数，则函数bxxga||log)(的图象是()三．解答题（本大题满分74分，共5小题）19.（理）（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：已知AB平面BCD，CDBC，AD与平面BCD所成的角为30，且2BCAB．（1）求AD与平面ABC所成角的大小；（2）求点B到平面ACD的距离．20.（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．（1）求证：03B；（2）求1sin2sincosByBB的取值范围．21.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）设函数)10()1()(aaakaxfxx且是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）（理）若23)1(f，且)(2)(22xfmaaxgxx在),1[上的最小值为2，求m的值．（文）若0)1(f，试说明函数)(xf的单调性，并求使不等式0)4()(2xftxxf恒成立的的取值范围．22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）[来源:学科网ZXXK]如图，已知点)1,0(F，直线m：1y，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为),0(0yD，求0y的取值范围；（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边mFxyOABCD三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题6分）（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这3n个数构成等差数列．（1）若1a，在b，c之间插入一个数，求q的值；（2）设cba，4n，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，个位于b，c之间，试比较s与的大小．数学理（参考答案）一、填空题（每小题4分，共56分）1．2。213。（理）)1,0(4。345。16.]6,2[7。48．（理）69。（理）653310。（理）11．（理）6512。（理）513。（理）214．（理）51二、选择题（每小题5分，共20分）15．B16。B17。D18。（理）A（三、解答题19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）（理）解：（1）因为AB平面BCD，所以CDAB，又CDBC，所以CD平面ABC，DAC就是AD与平面ABC所成的角．………………2分因为AB平面BCD，AD与平面BCD所成的角为30，故30ADB，由2BCAB，得4AD，22AC，………………4分所以22cosADACDAC，所以AD与平面ABC所成角的大小为45．………………6分（2）设点B到平面ACD的距离为d，由（1）可得32BD，22CD，则3246131ABCDBCABSVBCDBCDA，………………8分ddCDACdSVACDACDB346131．………………10分由ACDBBCDAVV，得2d．所以点B到平面ACD的距离为2．………………12分（文）解：（1）由题意2122224SAA表，解得14AA.………………2分在△AOP中，02,120OAOPAOP，所以23AP．在△BOP中，02,60OBOPBOP，所以2BP．………………4分所以1113AAPBAPBVSAA11832324323．………………6分（2）取1AA中点Q，连接OQ，PQ，则1//OQAB，得POQ或它的补角为异面直线1AB与OP所成的角.………………8分又23AP，2AQAO，得22OQ，4PQ，由余弦定理得2222cos24POOQPQPOQPOOQ，………………10分所以异面直线1AB与OP所成角的大小为2arccos4．………………12分[来源:学|科|网]20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）解：（1）由已知，acb2，所以由余弦定理，得acaccaacbcaB22cos22222………………2分由基本不等式acca222，得2122cosacacacB．………………4分[来源:学&科&网]所以1,21cosB．因此，30B．………………6分（2）4sin2cossincossin)cos(sincossin2sin12BBBBBBBBBBy，………………9分由（1），30B，所以12744B，所以1,224sinB，所以，BBBycossin2sin1的取值范围是2,1．………………12分21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）（理）解：（1）由题意，对任意Rx，)()(xfxf，即xxxxakaaka)1()1(，………………2分即0)())(1(xxxxaaaak，0))(2(xxaak，因为x为任意实数，所以2k．………………4分解法二：因为)(xf是定义域为R的奇函数，所以0)0(f，即0)1(1k，2k．当2k时，xxaaxf)(，)()(xfaaxfxx，)(xf是奇函数．所以k的值为2．………………4分（2）由（1）xxaaxf)(，因为23)1(f，所以231aa，解得2a．………………6分故xxxf22)(，)22(222)(22xxxxmxg，令xxt22，则222222txx，由),1[x，得,23t，所以2222)(22)()(mmtmttthxg，,23t………………9分当23m时，)(th在,23上是增函数，则223h，22349m，解得1225m（舍去）．………………11分当23m时，则2)(mf，222m，解得2m，或2m（舍去）．………………13分综上，m的值是2．………………14分（文）解：（1）由题意，对任意Rx，)()(xfxf，即xxxxakaaka)1()1(，………………2分即0)())(1(xxxxaaaak，0))(2(xxaak，因为x为任意实数，所以2k．………………4分解法二：因为)(xf是定义域为R的奇函数，所以0)0(f，即0)1(1k，2k．当2k时，xxaaxf)(，)()(xfaaxfxx，)(xf是奇函数．所以k的值为2．………………4分（2）由（1）知xxaaxf)(，由0)1(f，得01aa，解得10a．………………6分当10a时，xay是减函数，xay也是减函数，所以xxaaxf)(是减函数．………………7分由0)4()(2xftxxf，所以)4()(2xftxxf，………………8分因为)(xf是奇函数，所以)4()(2xftxxf．………………9分因为)(xf是R上的减函数，所以42xtxx即04)1(2xtx对任意Rx成立，………………11分所以△016)1(2t，………………12分解得53t．………………13分所以，的取值范围是)5,3(．………………14分22．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分）（理）解：（1）设),(yxP，由题意，)1,(xQ，)1,0(yQP，)2,(xQF，)1,(yxFP，)2,(xFQ，………………2分由FQFPQFQP，得)1(2)1(22yxy，化简得yx42．所以，动点P的轨迹C的方程为yx42．………………4分（2）轨迹C为抛物线，准线方程为1y，即直线m，所以)1,0(M，………………6分设直线m的方程为1kxy（0k），由，yxkxy4,12得0442kxx，由△016162k，得12k．………………8分设),(11yxA，),(22yxB，则kxx421，所