北航数学竞赛

北京航空航天大学2010年数学竞赛答案一.填空题（本题共60分）1.设函数)(xf在区间),0(内连续，对任意正数x，有)()(2xfxf，且5)3(f，则)1(f_______5________2.设,1)(25xxxf则)()5(xf______))1(1)1(1(2!566xx____________3.已知)(xf在),(内可导，且2)(limexfx，)]1()1([lim)(limxfxfcxcxxxx，则c___21________4.已知bapxdxepx,0)(2010)(3则.____________p5.当p满足___2p_____时，级数pnnnn!)!2(!)!12()1(411绝对收敛.6.121)1(lim_nnxnxx______1_______7.已知)4()(xfxf，0)0(f，且在]2,2(上有||)(xxf，则)9(f____21____8.计算积分1010)1(2022dzeddz_____)11(2e__________9.设是八面体1||||||zyx的表面，则积分dSzx2)32(=______33118_________10.设由曲线xy2与直线1x所围的均匀薄片(面密度为1)绕过原点的任意直线的转动，则该转动惯量中的最小值为_________154___________二.(本题10分)设sinsinsinsinsinsinsinsinsinR)20(,试问,,中哪一个的变动对R影响最大?解sin1sin1sin1R1,两边取全微分dsincosdsincosdsincosdRR12222dsincosdsincosdsincosRdR2222故dsincosRR22,dsincosRR22,dsincosRR22由于20,所以0sincossincossincos2220RRR因此的变动对R影响最大.三、(本题10分)已知dxxxann2220sin)4(.（1）证明12)4(121nnna；（2）求0nna.解:dtttann2220cos)4(dxxann220)4(2112)4(121nn.设120121)(nnxnxs，22011)('xxxSnn,,11ln21)(xxxS,所以.44ln21)4(0Sann四、(本题10分)计算曲面积分,)2(23222zyxzdxdyydzdxxdydz其中22)2()1(6:yxz的0z部分的外侧.解:作辅助曲面充分小，rrzyx,2:22220下侧；）（yxyxrz4210:2221，下侧。原式=1010，,0010dv,0011dxdy0031zdxdyydzdxxdydzr.23113310dxdydzrzdxdyydzdxxdydzr原式=2.五、(本题10分)求最小的实数C，使得满足101d|)(|xxf的连续函数都有10C)(dxxf.解:一方面1010102|)(|22tdtf(t))dxxf(dttf。另一方面，取nnxnxf)1()(,则1)1(|)(|1010dxxndxxfnn,而)(2212)1()(21010nnndxxndxxfnn因此最小的实数C=2.北京航空航天大学2009年数学竞赛试题解答一、填空题（每题5分）1.____________24_______)3432(lim3nnnnn2.设,)1()(,01xxxfx则______0________)(limxxfx3.当nxaxxex1)1ln(0与时，是等价无穷小，则__61____,3_an4.设,002uvyxdveduz则___________________2)(2yxeyxz5.设_____________)sin(ln___)(,cossin)(Cxxxfxxefx则6.求二重积分1:____,)11(41_)(22222222yxDbadxdybyaxD其中7.已知0220___)12_(),0(,21222dxxeekkdxexxkx则8．设曲线,1:2xyL起点和终点坐标依次为)0,1(A、)1,0(B，则变力},{2xyyxF沿该曲线做功为________152_______。9．已知61212nn，则.______6_____1ln210dxxx10．设有向曲面,0,1:zzyx外侧。则积分zyxdxdydzdxdydz______2_____二、设函数,||)(1xdtttxf],1,1[x试讨论函数)(xf的奇偶性，并求11)(dxxf.10,31,01,31||)(331xxxxdtttxfx)()(xfxf，偶函数。.21)(11dxxf三、设,1p试判别级数的敛散性.nninnnpnipppp1)(1211，因为,111)(101pdxxnnippni所以级数收敛。四、计算曲面积分222zyxxdydzI.其中是曲面222Ryx介于两平面Rz之间的那部分表面的外侧。).2(2R作辅助平面,:1Rz上侧，,:2Rz下侧，122222212222222zRxdydzzRxdydzzRxdydzzRxdydzzyxxdydzI.21222RdvzRI五、在曲面：)0(2222hzbyaxz内如何作内接长方体，才能使得长方体的体积最大？求最大体积。).2(2abh在第一卦限的上取一点),,(zyx做为长方体的顶点，则该长方体的体积为)(22zhyx设拉格朗日函数)(22zhyxL)(2222zbyax，,02)(42axzhy,02)(42byzhx,04xy,2222byaxz解得,2,2,2hzhbyhax最大体积为.22abh六、设函数)(xf在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，满足1)1(,0)0(ff，且.21)(10dxxf试证明：在)1,0(内至少存在一点,使得.0)(f证明：设辅助函数,)()(xxfxF则,0)1(,0)0(FF又由21)(10dxxf知0)(10dxxF，从而存在),1,0(c使得,0)(cF由罗尔定理知在)1,0(内至少存在一点,使得0)(F，即有.0)(f北京航空航天大学2008年数学竞赛试卷一．填空题（每题4分，共40分）.______)0()1(lim.1xxnnn._____)(,0,00,1sin)(.2)(243nnxfxxxxxxfn的最大值为连续的阶数使则设.___________)0(,arctan)(.3)2008(fxxxf则设.________518141:11111:.421所在的平面方程为与直线直线zyxlzyxl._____)0,0()0,0(0,,0,)1ln(),(.52yxffxyxxxyxyxf则设.__________)0(cossind.6402222abxbxax.___,d)1ln()0(11,0.72sin0围为的取值范则高阶的无穷小是比时当xttxx.____)π0(sin.823体积为轴旋转所成的旋转体的轴围成的图形绕与曲线xxxxy.____________}3,2,1{4:.922上的通量为在，上侧，则向量场设有向曲面Ayxz._______121)1()(sin)1(2.012122111展开式为的傅里叶，则且已知xnxnnxxnnnn二(10分)．求.dsin12sin0xx)xn(In三(10分).,1|)(|1)2()0(]2,0[)(xfffxf，上有一阶连续导数，且在设.1d)(20xxf求证四(10分)..!)!2(!)!12()1(11的和函数求幂级数nnnxnn五(10分).已知函数)(xf为),0[上的连续函数,且满足方程222422dd)21(π)(tyxyxyxfttf,求)(xf的表达式.六(10分).被包含为球面记为常数设2222)()(),(0tazyxtSaat.)(.2222的最大值试求内部部分的表面积球面tSazyx七(10分).求Czxyzxyddd222,其中C为曲线xRyxyxRz22222,(R0),若从z轴正向看去，C为逆时针方向.北京航空航天大学2007年数学竞赛试卷一、填空题（本题共40分）.____________243lim.11xxxx.____________,,110.23baxbxaxexx则是同阶无穷小与时设._______________________2,.3为程所对应的点处的切线方则它在下的方程为设平面曲线在极坐标系er.______________________________)(,1,,10,1)(ln.4xfxxxxf则设.____________)()3)(2)(1(1lim.5nnnnnnnn._____)0,0(,______)0,0(,0,0,0,),(.62222223yxyxffyxyxyxyxyxf则.________________ln1.72100nnxnn的收敛域为幂级数._________________1,2.822大值为坐标面平面的距离的最到曲线xoyzyxyxz._________________)()()()(,,)(1:.922的值为则是常数连续且恒正，，设dxdyyfxfybfxafbaxfyxDD._______________)!1(!2)2(.10112nnnnn二、(本题10分)设)(xp是x的n次多项式，.0,0,0,)(21xxexfx。1.证明对任意的正整数n，有;0)1(lim210xxexp2.证明对任意的正整数n，有.0)0()(nf三、(本题10分)已知函数.2|||:|,,1,1||||,),(222yxDyxyxxyxf其他计算.),(dxdyyxf四、(本题10分).,0,,,222222dvzxycbaczbyax计算：设五、(本题10分)计算.2)2()()0,2()0,2(22yxdyyxdxxy六、(本题10分).1)1()(2,2222222内部的部分的上侧在球面是曲面其中计算曲面积分zyxyxazdzdxydydz