北京市高一数学竞赛(解析版)

2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题2008年4月13日8︰30～10︰30亲爱的中学生朋友:欢迎你参加本次竞赛活动﹗中国的未来需要众多的人才，人才的培养需要从青少年时代奠基，打好数学基础有助于从事各行业的发展。北京数学会组织中学生数学竞赛等数学科普活动旨在自愿的前提下丰富数学爱好者的课余生活，激发学习兴趣，普及科学精神，提高能力水平。祝你插上数学的翅膀，在科学探索的空间展翅翱翔。注意事项1.本次考试共有14个小题﹙6个选择，8个填空题﹚，把答案填写在下面标有题号的空格内。2.不允许使用计算器。3.监考员宣布考试结束时，请你私下本页，填好所要求填写的项目，交给监考员。以下由考生填写姓名__________________性别______考号_____________校名______________________________年级___________以下由评分者填写本次考试该生所得分数是__________2008年北京市中学生数学竞赛高一年级初赛试题一、选择题﹙满分36分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的英文字母代号填入第一页指定地方，答对得6分，答错或不答均记0分﹚1.设函数fx对0x的一切实数均有200823fxfxx，则2f等于﹙A﹚2006.﹙B﹚2008.﹙C﹚2010.﹙D﹚2012.2.0000cos31,tan46,sin81,sin113的大小关系是﹙A﹚0000cos31tan46sin81sin113.﹙B﹚0000sin81cos31sin113tan46.﹙C﹚0000cos31sin113sin81tan46.﹙D﹚0000tan46sin81cos31sin113.3.已知0abc，则在下列四个选项中，表示2yaxbxc的图像只可能是4.对非0实数a，存在实数使得212cosaa成立，则6cos的值是xy0﹙A﹚xy0﹙B﹚xy0﹙C﹚xy0﹙D﹚﹙A﹚32.﹙B﹚12.﹙C﹚32.﹙D﹚12.5.已知,分别满足100411004,10g，则等于﹙A﹚21004.﹙B﹚1004.﹙C﹚22008.﹙D﹚2008.6.23456cos0coscoscoscoscoscos777777等于﹙A﹚4.﹙B﹚3.﹙C﹚2.﹙D﹚1.二、填空题﹙满分64分，每小题8分，请将答案填入第一页指定地方﹚1.求523111125323111ogogog的值.2.如果sincos2，试确定3tan的值.3.在右图的圆中，弦,ABCD垂直相交于E，若线段,AEEB和ED的长分别是2厘米，6厘米和3厘米，试求这个圆的面积.4.以x表示不超过x的最大整数，试确定sin1sin2sin3sin4sin5的值.5.已知直角三角形ABC斜边AB的长等于29，计算ABACBCBACACB.6.已知集合22,68070xxxxxaxAB.若AB，确定实数a的取值范围.7.分别以锐角三角形ABC的边,,ABBCCA为直径画圆，如图所示.已知在三角形外的阴影曲边三角形面积为w平方厘米，在三角形内的阴影曲边三角形面积为u平方厘米，试确定三角形ABC的面积.8.已知正整数n与k使得252500nk成立.试确定不小于lglgkn的最小整数的值.参考答案1.A【解析】(2)2(1004)32(2)2006(1004)2(2)31004fffff2.C【解析】注意到：cos31sin59，sin113sin67sin59sin67sin811tan463.B【解析】ABCD对称轴a、b同号a、b同号a、b同号a、b异号纵截距c正c负c正C负4.A【解析】注意到：21111cos(||)||1cos2||2||||aaaaaa我们有：cos1，sin0此时有：3coscoscossinsin66625.B【解析】令函数()lgfxxx，则()fx是(0,)上的增函数，注意到：(10)10lg10101004()ff，有10此时有10(10)1004f6.D【解析】注意到：162534coscoscoscoscoscos0777777因此有：原式＝11.2355lg21lg3111(3)lg5logloglog15125323lg2lg3lg52.sincos2sin2sin12()444kkZ13tantan2tan233434313k3.2tan3AEADEDE，6tan23BEBDEDE2283tan8sin265123ADBADB28652658sin465ABRSRADB4.sin1、sin2、sin3(0,1)，sin4、sin5(1,0)2sin1sin2sin3sin4sin55.||29ABACBCBACACBABACBCBAABABAB6.{|24}Axx，记2()7fxxax，欲使AB需且只需：(2)(4)0ff或0(2)0(4)0242ffa，整理有23274a7.如图所示，设红色区域面积为x，白色区域面积为y，三个半圆的面积之和为S，则：1()232SwyxuwuSyxu8.当n＝1、2、3、4时，k非正整数，当5n时，有44252500554nnk此时有4225|5|kk，令25()kttN，有424545(2)(2)nnttt，存在、N，，使得5225455tt若0，则：5|55，矛盾有0，则：lglg22513225,5lglg5ktknn注意到lg125lg225lg62534lg5lg5lg5，lg2254lg5