初三数学竞赛试题

中山市2010年初三数学竞赛试题题号一二三总分复查人1～56～1011121314得分评卷人一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.每道小题有且只有一个选项是正确的.请将正确选项代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若2010abbc，，则abbc的值为（）（A）1121（B）21011（C）11021（D）21112．若实数a，b满足21202aabb，则a的取值范围是（）（A）a≤2（B）a≥4（C）2≤a≤4（D）a≤2或a≥43．如图，在四边形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=23，BC=422，CD＝42，则AD边的长为（）（A）26（B）64（C）622（D）644．在一列数123xxx，，，……中，已知11x，且当k≥2时，1121444kkkkxx，（取整符号a表示不超过实数a的最大整数，例如2.62，0.20），则2010x等于（）(A)1(B)2(C)3(D)45．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，……，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）（A）（2010，2）（B）（2012，2）（C）（2010，2）（D）（0，2）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－11的值等于．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是．9．如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线CD，垂足为D．若CD＝CF，则AEAD．10．对于i=2，3，…，k，正整数n除以i所得的余数为i－1．若n的最小值0n满足020003000n，则正整数k的最小值为．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．设实数a，b满足：2231085100aabbab，求u29722ab的最小值.（第8题）（第9题）12．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.（1）求证：DE是⊙O的切线.（2）若DE=3，⊙O的半径为5，求BE的长.13．设1x，2x，…，0082x是整数，且满足下列条件：（1）21nx（n=1，2，…，2008）；（2）21xx…+0082x=200；（3）2221xx…+20082x=2008.求3231xx…+30082x的最小值和最大值.14．如图，已知直线bxyl31:经过点)410(，M，一组抛物线的顶点11(1,y)B，22(2,y)B，33(3,y)B，…，n(,y)nBn（n为正整数）依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：11(,0)Ax，22(,0)Ax，33(,0)Ax，…，11(,0)nnAx（n为正整数），设dx1(0＜d＜1).（1）求经过点1A、1B、2A的抛物线的解析式（用含d的代数式表示）；（2）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”.探究：当d(0＜d＜1)的大小变化时，这组抛物线中是否存在“美丽抛物线”？若存在，请求出相应的d的值.