上海市吴淞中学高二上学期期末考试数学试题

（满分150分，考试时间120分钟）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1.若向量(1,2)a，(2,1)b，则2ab等于．52.正方体1111DCBAABCD中，与直线1AD异面，且与1AD所成角为60的面对角线共有条．43.增广矩阵为111311的线性方程组的解为________________.12yx4.行列式987654321中元素8的代数余子式为______________.6431=65.已知|a|＝4,|b|＝2,a与b的夹角为3，则b在a上的投影为_____________.16.已知极限nnx)1(lim存在，则实数x的取值范围是____________.]0,2(7.球的表面积为2cm16，则球的体积为___________3cm.323[来源:Z,xx,k.Com]8.已知21,ee是两个不共线的平面向量，向量)(,22121Reebeea，若ba//，则＝_____________．219.已知数列na中，43,411nnaaa，则数列na的前n项和nS=.nSannnn213,232110.若取地球的半径为6371米，球面上两点A位于东经721210，北纬8310，B位于东经721210，北纬5250，则A、B两点的球面距离为_____________千米(结果精确到1千米)．67311.已知正数数列na（nN）定义其“调和均数倒数”12111nnaaaVn（nN），那么当12nnV时，2012a=_______________.2012112.如图，由编号1，2，…，n，…（*nN且3n≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积的和为_______________（结果保留）．128π713.若{}na是等差数列，,,mnp是互不相等的正整数，有正确的结论：()()()0pmnmnanpapma，类比上述性质，相应地，若等比数列{}nb，,,mnp是互不相等的正整数，有_________.1mpnpnmnmpbbb14.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）.有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半;B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P;C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P;D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.其中真命题的代号是：___________________（写出所有真命题的代号）．B,D二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15.用一个平面去截正方体，所得截面不可能是（D）A.平面六边形B.菱形C.梯形D.直角三角形16.如图，P为正方体1111DCBAABCD的中心，△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（C）ABCDA1B1C1D1P(1)(2)(3)(4)A.(1)、(2)、(3)、(4)B.(1)、(3)C.(1)、(4)D.(2)、(4)17.给出下列命题：(1)三点确定一个平面；(2)在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；(3)若平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则//；(4)若直线cba,,满足caba,则cb//.其中正确命题的个数是(B)A.0B．1C．2D．318.点O在ABC所在平面内，给出下列关系式：（1）0OCOBOA；第12题…12n3…PP图12图第14题（2）OAOCOCOBOBOA；（3）0BABABCBCOBABABACACOA；（4）0)()(BCOCOBABOBOA．则点O依次为ABC的（C）A．内心、外心、重心、垂心B．重心、外心、内心、垂心C．重心、垂心、内心、外心D．外心、内心、垂心、重心[来源:学.科.网]三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。19.（本题满分12分）用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，如图，已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为045，容器的高为cm10.制作该容器需要多少面积的铁皮?该容器的容积又是多少?(衔接部分忽略不计,结果精确到21.0cm)解:由已知得该容器的底面半径10r,母线,210/h其侧面积)(3.44421002/cmrhS侧;其体积)(2.1047310003132cmhrV答:该容器需要铁皮的面积约是23.444cm,该容器的容积约是32.1047cm.20.（本题满分14分）(文科同学做)已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，高12AA.求：⑴异面直线BD与1AB所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；⑵四面体11ABDC的体积.解:⑴连1111,,,BDABBDAD，∵1111//,BDBDABAD，∴异面直线BD与1AB所成角为11ABD，记11ABD，222111111110cos210ABBDADABBD∴异面直线BD与1AB所成角为10arccos10.⑵连11,,ACCBCD，则所求四面体的体积11111111242433ABCDABCDCBCDVVV.20.(理科同学做)已知1111ABCDABCD是底面边长为1的正四棱柱，1O是11AC和11BD的交点.⑴设1AB与底面1111ABCD所成的角的大小为，二面角111ABDA的大小为,试确定tan与tan的一个等量关系,并给出证明;⑵若点C到平面11ABD的距离为43，求正四棱柱1111ABCDABCD的高.解：设正四棱柱的高为h.⑴连1AO，1AA底面1111ABCD于1A，∴1AB与底面1111ABCD所成的角为11ABA，即11ABA.∵11ABAD，1O为11BD中点，∴111AOBD，又1111AOBD，∴11AOA是二面角111ABDA的平面角，即11AOA.∴111tanAAhAB，111tan22tanAAhAO.⑵建立如图空间直角坐标系，有11(0,0,),(1,0,0),(0,1,0),(1,1,)AhBDChO1DCBAD1C1B1A1A1B1C1D1ABCDO1zyxA1B1C1D1ABCDO111(1,0,),(0,1,),(1,1,0)ABhADhAC设平面11ABD的一个法向量为(,,)nxyz，∵111100nABnABnADnAD，取1z得(,,1)nhh∴点C到平面11ABD的距离为22||043||1nAChhdnhh，则2h.21.（本题满分14分）已知向量),(),,(aanaamxx，其中0a且1a，（1）当x为何值时，nm；（2）解关于x的不等式nmnm.22.（本题满分16分）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．（1）证明AD平面PAB；（2）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（3）求二面角ABDP的大小．解:（1）证明：在PAD中，由题设22,2PDPA可得222PDADPA于是PAAD.在矩形ABCD中，ABAD.又AABPA，所以AD平面PAB．[来源:Zxxk.Com]（2）解：由题设，ADBC//，所以PCB（或其补角）是异面直线PC与AD所成的角.在PAB中，由余弦定理得由（1）知AD平面PAB，PB平面PAB，7cos222PABABPAABPAPB所以PBAD，因而PBBC，于是PBC是直角三角形，故27tanBCPBPCB．所以异面直线PC与AD所成的角的大小为27arctan．23.（本题满分18分）各项均为正数的数列}{na的前n项和为nS，满足)()1(2*2NnaaSnnn.（1）求数列}{na的通项公式；（2）若数列}{nb满足)(2,2*11Nnbbbnn，数列}{nc满足)(,2,,12,*Nkknbknacnnn，数列}{nc的前n项和为nT，求nT；（3）若数列)(244*2NnnnPn，甲同学利用第（2）问中的nT，试图确定)(*22NkPTkk的值是否可以等于2011？为此，他设计了一个程序（如图），但乙同学认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束），你是否同意乙同学的观点？请说明理由.解：（1）2)1(2,111211aaaSn,2n,nnnaaS2)1(2,1211)1(2nnnaaS,两式相减，得12122nnnnnaaaaa,1,01nnnaaa,}{na为等差数列，首项为2，公差为1,1nan.（2）}{nb是首项为2，公比为2的等比数列，nnb246810121422011,2011ddddddd且2011,2011(nnndTPn即为偶数）乙同学的观点正确.[来源:学&科&网Z&X&X&K]附件1：律师事务所反盗版维权声明[来源:Zxxk.Com]附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：=3060