初一数学竞赛讲义(学生版)

第一讲和绝对值有关的问题一、知识结构框图：二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。也可以写成：||0aaaaaa当为正数当为0当为负数三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|的值等于（）A．-3aB．2c－aC．2a－2bD．b例2．已知：zx0，0xy，且xzy，那么yxzyzx的值（）A．是正数B．是负数C．是零D．不能确定符号例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。例4．（整体思想）方程xx20082008的解的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个例5．（非负性）已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．1111112220072007abababab例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2，3与5，2与6，4与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___.（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为________________.（3）结合数轴求得23xx的最小值为，取得最小值时x的取值范围为___.（4）满足341xx的x的取值范围为______.第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容.2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。二、典型例题例1．若多项式xyxxxmx537852222的值与x无关，求mmmm45222的值.例2．x=-2时，代数式635cxbxax的值为8，求当x=2时，代数式635cxbxax的值。例3．当代数式532xx的值为7时,求代数式2932xx的值.例4．已知012aa，求2007223aa的值.例5．（实际应用）A和B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？例6．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且bcbcacacababccbbaax，则123cxbxax的值是_______。例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线____上，“2008”在射线___________上．（2）若n为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n的代数式表示为__________________________．ABDCEFO172839410511612例8．将正奇数按下表排成5列:第一列第二列第三列第四列第五列第一行1357第二行1513119第三行17192123第四行31292725根据上面规律，2007应在A．125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列例9．（2006年嘉兴市）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为kn2（其中k是使kn2为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：若n＝449，则第449次“F运算”的结果是__________．第三讲：与一元一次方程有关的问题一、典型例题例1．若关于x的一元一次方程2332xkxk=1的解是x=-1，则k的值是（）A．27B．1C．-1311D．0例2．若方程3x-5=4和方程0331xa的解相同，则a的值为多少？例3.（方程与代数式联系）a、b、c、d为实数，现规定一种新的运算bcaddcba.26134411第一次F②第二次F①第三次F②…（1）则2121的值为；（2）当185)1(42x时，x=.例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（）A．baaB．babC．habD．hah例5．小杰到食堂买饭，看到A、B两窗口前面排队的人一样多，就站在A窗口队伍的里面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B窗口队伍后面每分钟增加5人。此时，若小李迅速从A窗口队伍转移到B窗口后面重新排队，将比继续在A窗口排队提前30秒买到饭，求开始时，有多少人排队。（提示）题中的等量关系为：小李在A窗口排队所需时间=转移到B窗口排队所需时间+21课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：bax是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a≠0，所以bax不是一元一次方程我们把它称为含字母系数的方程。例6．解方程bax例7．问当a、b满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。例8．解方程11xxababab二、含绝对值的方程解法例9．解下列方程523x不考虑瓶子的厚度.例10．解方程21513x例11．解方程121xx第四讲：图形的初步认识基本要求：1．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④较高要求：2．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是()A．7B．8C．9D．103．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c=（）A．40B.38C.36D.344．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是()A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥13．对右面物体的视图描绘错误的是（）（四）新颖题型123645c8425baA．B．C．D．16.正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为.第五讲：线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段？问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：直线线段直线性质射线线段的比较和画法线段的中点线段性质两点间的距离角角的分类角的比较、度量和画法相关角角平分线平角直角锐角周角钝角余角和补角定义性质同角（或等角）的补角相等同角（或等角）的余角相等MBA几何语言：∵M是线段AB的中点∴12AMBMAB，22AMBMAB典型例题：1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）（A）AP=21AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=21AB2．若点B在直线AC上，下列表达式：①ACAB21；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知线段MN，P是MN的中点，Q是PN的中点，R是MQ的中点，那么MR=______MN．4．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（）A2（a-b）B2a-bCa+bDa-b（三）与角有关的问题1．已知：一条射线OA，若从点O再引两条射线OB、OC，使∠AOB=600，∠BOC=200，则∠AOC=____________度（分类讨论）2．A、O、B共线，OM、ON分别为∠AOC、∠BOC的平分线，猜想∠MON的度数，试证明你的结论．3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，COE∠是直角，OF平分AOE∠，34COF∠，求BOD∠的度数．4．如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=60°，求∠O；（2）若∠A=100°，∠O是多少？若∠A=120°，∠O又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）5．如图，O是直线AB上一点,OC、OD、OE是三条射线,则图中互补的角共有（B）对(A)2(B)3(C)4(D)56．互为余角的两个角（）ADBMCNABCNMODCBA（A）只和位置有关（B）只和数量有关（C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）A.12（∠1＋∠2）B.12∠1C.12（∠1－∠2）D.12∠2第六讲：相交线与平行线一、知识框架二、典型例题1.下列说法正确的有()①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等.A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图所示,下列说法不正确的是()A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段ACC.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段3.下列说法正确的有()①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;相交线两条直线相交邻补角、对顶角对顶角相等两条直线被第三条直线所截同位角、内错角、同旁内角平行线平行公理平移判定性质垂线及性质点到直线的距离DCBAFEDCBAl3l2l1O34l3l2l112③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.A.1个B.2个C.3个D.4个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）A.第一次向左拐30°第二次向右拐30°B.第一次向右拐50°第二次向左拐130°C.第一次向右拐50°第二次向右拐130°D.第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立．．．．的是（）A.CDADB.ACBCC.BCBDD.CDBD6．如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=______.7．如图,AB∥EF∥CD,EG∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有()A.6个B.5个C.4个D.3个8．如图，直线l1、l2、l3交于O点，图中出现了几对对顶角，若n条直线相交呢？9.如图，在44的正方形网格中，321，，的大小关系是_________．10.如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.(方程思想)12．如图，若AB//EF，∠C=90°，求x+