初一数学竞赛讲座

第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成mn（0,,nmn互质）。4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)aaaaa②非负性2(||0,0)aa③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】：若||||||0,ababababab则的值等于多少？如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（D）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求220062007()()()xabcdxabcd的值。如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么||||abab化简的结果等于（）A.2aB.2aC.0D.2b已知2(3)|2|0ab，求ba的值是（）A.2B.3C.9D.6有3个有理数a,b,c，两两不等，那么,,abbccabccaab中有几个负数？设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,aba的形式式，又可表示为0，ba，b的形式，求20062007ab。三个有理数,,abc的积为负数，和为正数，且||||||||||||abcabbcacXabcabbcac则321axbxcx的值是多少？若,,abc为整数，且20072007||||1abca，试求||||||caabbc的值。三、课堂备用练习题。1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：59173365129132481632644、已知,ab为非负整数，且满足||1abab，求,ab的所有可能值。例1例2例3例4例5例6例7例8例95、若三个有理数,,abc满足||||||1abcabc，求||abcabc的值。第二讲数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①|||0|aa表示数a对应的点到原点的距离。②||ab表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、【典型例题解析】：（1）若20a，化简|2||2|aa（2）若0x，化简|||2||3|||xxxx解答：设0a，且||axa，试化简|1||2|xx解答：a、b是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）||||||;abab（2）||||||;abab（3）||||;abba（4）若||ab则ab（5）若||||ab，则ab（6）若ab，则||||ab解答：若|5||2|7xx，求x的取值范围。解答：不相等的有理数,,abc在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果||||||abbcac，那么B点在A、C的什么位置？解答：设abcd，求||||||||xaxbxcxd的最小值。解答：abcde是一个五位数，abcd，求||||||||abbccdde的最大值。解答：设1232006,,,,aaaa都是有理数，令1232005()Maaaa2342006()aaaa,1232006()Naaaa2342005()aaaa,试比较M、N的大小。解答：三、【课堂备用练习题】：1、已知()|1||2||3||2002|fxxxxx求()fx的最小值。2、若|1|ab与2(1)ab互为相反数，求321ab的值。3、如果0abc，求||||||abcabc的值。4、x是什么样的有理数时，下列等式成立？（1）|(2)(4)||2||4|xxxx（2）|(76)(35)|(76)(35)xxxx5、化简下式：||||xxx例1例2例3例4例5例6例7例8第三讲数系扩张--有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。二、【典型例题解析】：计算：3510.752(0.125)124478解答：计算：（1）、560.94.48.11（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25（3）、（-423）[phone]解答：计算：①2323211.75343②111142243解答：化简：计算：（1）711145438248（2）35123.7540.1258623（3）340115477（4）235713346（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（7957618）解答：计算：（1）3242311（2）219981110.5333（3）22831210.52552142解答：计算：3413312100.51644解答：计算：例1例2例3例4例5例6例73323200213471113()[0.25()](51.254)[(0.45)(2)](1)81634242001解答：第四讲数系扩张--有理数（四）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、【典型例题解析】：计算：237970.716.62.20.73.31173118解答：计算：1111111111(1)()(1)23199623419972319971111()2341996解答：计算：①2232(2)|3.14||3.14|(1)②235324[3(2)(4)(1)]7解答：化简：111()(2)(3)(9)122389xyxyxyxy并求当2,x9y时的值。解答：计算：2222222221314112131411nnSn解答：比较1234248162nnnS与2的大小。解答：计算：3323200213471113()[0.25()](51.254)[(0.45)(2)](1)81634242001解答：已知a、b是有理数，且ab，含23abc，23acx，23cby，请将,,,,abcxy按从小到大的顺序排列。解答：三、【备用练习题】：1、计算（1）1111142870130208（2）2221335991012、计算：111111200720062005200412323233、计算：1111(1)(1)(1)(1)23420064、如果2(1)|2|0ab，求代数式220062005()()2()baababab的值。5、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，求2221(12)abmmcd的值。例1例2例3例4例5例6例7例8第五讲代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：用代数式表示：（1）比xy与的和的平方小x的数。（2）比ab与的积的2倍大5的数。（3）甲乙两数平方的和（差）。（4）甲数与乙数的差的平方。（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。（7）比a的平方的2倍小1的数。（8）任意一个偶数（奇数）（9）能被5整除的数。（10）任意一个三位数。代数式的求值：（1）已知25abab，求代数式2(2)3()2abababab的值。（2）已知225xy的值是7，求代数式2364xy的值。（3）已知2ab；5ca，求624abcabc的值(0)c（4）已知113ba，求222abababab的值。（5）已知：当1x时，代数式31Pxqx的值为2007，求当1x时，代数式31Pxqx的值。（6）已知等式(27)(38)810ABxABx对一切x都成立，求A、B的值。（7）已知223(1)(1)xxabxcxdx，求abcd的值。（8）当多项式210mm时，求多项式3222006mm的值。找规律：Ⅰ.（1）22(12)14(11)；（2）22(22)24(21)（3）22(32)34(31)（4）22(42)44(41)第N个式子呢？Ⅱ.已知2222233；2333388；244441515；若21010aabb（a、b为正整数），求?abⅢ.32332333211;123;1236;33332123410;猜想：333331234?n例4（如右图）三个圆的面积为K，两个阴影部分面积相等,l以下的面积是9，三个圆覆盖的面积是2K+2，求K的值。如果1998abc，则222()()()abbcca等于多少？两个自然数的和与差的乘积是1996，求两数的和？三、【备用练习题】：1、若()mn个人完成一项工程需要m天，则n个人完成这项工程需要多少天？2、已知代数式2326yy的值为8，求代数式2312yy的值。3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？4、已知1111nnaa(1,2,3,,2006)n求当11a时，122320062007?aaaaaa例1例2例3例5例6第六讲代数式（二）一、【能力训练点】：（1）同类项的合并法则；（2）代数式的整体代入求值。二、【典型例题解析】：已知多项式222259337yxxyxnxymy经合并后，不含有y的项，求2mn的值。解答：当250(23)ab达到最大值时，求22149ab的值。解答：已知多项式3225aaa与多项式N的2倍之和是324224aaa，求N？解答：若,,abc互异，且xyabbcca，求xyZ的值。解答：已知210mm，求3222005mm的值。解答：已知2215,6mmnmnn，求2232mmnn的值。解答：已知,ab均为正整