上海市四区（杨浦、青浦、宝山、静安）2013年高三下学期二模数学（理）试题

（第9题图）开始输入pn=1np？？输出SS=0结束S=S+2−nn=n+1是否2012学年静安、杨浦、青浦、宝山区高三年级高考模拟考试数学试卷（理科）2013.04.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集RU，集合0322xxxA，则ACU.2．若复数z满足)2(ziz（i是虚数单位），则z.3．已知直线012yx的倾斜角大小是，则2tan.4．若关于yx、的二元一次方程组04)12(03yxmymx有唯一一组解，则实数m的取值范围是.5．已知函数)(xfy和函数)1(log2xy的图像关于直线0yx对称，则函数)(xfy的解析式为.6．已知双曲线的方程为1322yx，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.7．函数xxxxxxxfsincossin2)cos(cossin)(的最小正周期T.8．若nx)21(展开式中含3x项的系数等于含x项系数的8倍，则正整数n.9．执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是.10．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm．11．某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是(结果用最简分数表示)．12．各项为正数的无穷等比数列na的前n项和为nS，若1lim1nnnSS，则其公比q的取值范围是.13．已知两个不相等的平面向量，(0)满足||＝2，且与－的夹角为120°，则||的最大值是.14．给出30行30列的数表A：1074216183150117216342720131832721159150201510511713951，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，，按顺序构成数列nb，存在正整数)1(tsts、使tsbbb,,1成等差数列，试写出一组),(ts的值.[来源:学科网]二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．已知),2(，53sin，则)4tan(的值等于………………………（）（A）71．（B）71．（C）7．（D）7．16．已知圆C的极坐标方程为sina，则“2a”是“圆C与极轴所在直线相切”的………………………………………………………………………………（）（A）充分不必要条件．（B）必要不充分条件．（C）充要条件．（D）既不充分又不必要条件．17．若直线2byax经过点)sin,(cosM，则…………………………（）（A）422ba．（B）422ba．（C）41122ba．（D）41122ba．18．已知集合)(),(xfyyxM，若对于任意Myx),(11，存在Myx),(22，使得02121yyxx成立，则称集合M是“集合”.给出下列4个集合：①xyyxM1),(②2),(xeyyxM③xyyxMcos),(④xyyxMln),(其中所有“集合”的序号是……………………………………………………（）（A）②③．（B）③④．（C）①②④．（D）①③④．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，FE,分别为CDBA,11的中点．（1）求直线EC与平面11BCCB所成角的大小；（2）求二面角BAFE的大小．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于3，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．[来源:Zxxk.Com]（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的大小；（2）设COP，求△POC面积的最大值及此时的值．21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数axxf2)(．（1）若12)()(bxxfxF是偶函数，在定义域上axxF)(恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a时，令)())(()(xfxffx，问是否存在实数，使)(x在1,上是减函数，在0,1上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．[来源:学科网ZXXK]22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点)0,1(A，1P、2P、3P是平面直角坐标系上的三点，且1AP、2AP、3AP成等差数列，公差为d，0d．（1）若1P坐标为1,1，2d，点3P在直线3180xy上时，求点3P的坐标；（2）已知圆C的方程是222)3()3(ryx)0(r，过点A的直线交圆于31PP、两点，2P是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；（3）若1P、2P、3P都在抛物线24yx上，点2P的横坐标为3，求证：线段13PP的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列na的前n项和为nS，且满足aa1(3a)，nnnSa31，设nnnSb3，Nn．（1）求证：数列nb是等比数列；（2）若1na≥na，Nn，求实数a的最小值；（3）当4a时，给出一个新数列ne，其中2,1,3nbnenn，设这个新数列的前n项和为nC，若nC可以写成pt(Npt,且1,1pt)的形式，则称nC为“指数型和”．问nC中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由．四区联考2012学年度第二学期高三数学参考答案及评分标准2013.04一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．]3,1[；2．2；3．34；4．31m；5．12xy；6．1；7．；8．5；9．6463；10．17；11．834334P；12．1,0；13．334；14．)25,17(．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．D；16．A；17．B；18．A三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．（1）解法一：建立坐标系如图平面11BCCB的一个法向量为)0,1,0(1n因为)2,1,2(E)0,2,0(C，)2,1,2(EC，可知直线EC的一个方向向量为)2,1,2(d．设直线EC与平面11BCCB成角为，d与1n所成角为，则31191cossin11dndn31arcsinBCCB11成角大小为与平面故EC解法二：1EB平面11BCCB，即CB1为EC在平面11BCCB内的射影，故1ECB为直线EC与平面11BCCB所成角，在CEBRt1中，22,1EB11CB,42221tan111CBEBECB故42arctanBCCB11成角大小为与平面故EC（2）解法一：建立坐标系如图．平面ABCD的一个法向量为)1,0,0(1n设平面AEF的一个法向量为),,(2zyxn，因为)0,1,2(AF，)2,1,0(AE所以0202zyyx，令1x，则1,2zy)1,2,1(2n661411cos2121nnnn由图知二面角BAFE为锐二面角，故其大小为66arccos．解法二：过E作平面ABC的垂线，垂足为E，EEG即为所求ABE，过E作AF的垂线设垂足为G，ADF∽AGE521EGAFADEAEG即52EG在QEERt中5tanEGEEEEG所以二面角BAFE的大小为5arctan．20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）在△POC中，32OCP，1,2OCOP由32cos2222PCOCPCOCOP得032PCPC，解得2131PC．（2）∵CP∥OB，∴3POBCPO，在△POC中，由正弦定理得sinsinCPPCOOP，即sin32sin2CP∴sin34CP,又32sin)3sin(CPOC)3sin(34OC．解法一：记△POC的面积为)(S，则32sin21)(OCCPS，23)3sin(34sin3421)3sin(sin34)sin21cos23(sin342sin32cossin2332cos332sin33)62(sin332∴6时，)(S取得最大值为33.解法二：212432cos22PCOCPCOC即422PCOCPCOC，又PCOCPCOCPCOC322即43PCOC当且仅当PCOC时等号成立,所以3323342132sin21OCCPSPCOC∴6时，)(S取得最大值为33.21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解:（1）12)(2bxaxxF是偶函数，0b即2)(2axxF，Rx又axxF)(恒成立即2)1(222xxaaxax当1x时Ra当1x时，213)1(122xxxxa，232a当1x时，213)1(122xxxxa，232a综上：232232a（2）)())(()(xfxffx)2()2(24xx)(x是偶函数，要使)(x在1,上是减函数在0,1上是增函数，即)(x只要满足在区间,1上是增函数在1,0上是减函数．令2xt，当1,0x时1,0t；,1x时,1t，由于,0x时，2xt是增函数记)2()2()()(2tttHx，故)(x与)(tH在区间,0上有相同的增减性，当二次函数)2()2()(2tttH在区间,1上是增函数在1,0上是减函数，其对称轴方程为1t4122．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.解（1）11AP，所以35AP，设3,Pxy则221253180xyxy，消去y，得211300xx，…（2分）解得15x，26x,所以3P的坐标为5,3或6,0（2）由题意可知点A到圆心的距离为13)03()13(22t…（6分）（ⅰ）当130r时，点1,0A在圆上或圆外，31132PPAPAPd，又已知0d，rPP203