初一数学竞赛系列训练1

初一数学竞赛系列训练1答案1、设这两个数为a,b，由(a,b)=8得a=8m,b=8n，且(m,n)=1由[a,b]=96得[m,n]=12，又(m,n)=1，所以m=3，n=4或m=4，n=3所以a+b=8(m+n)=56，故选A2、由题意知，b既能被4整除，又能被3整除，所以b能被12整除又60能被b整除，所以b＝12或60（1）若b＝12，则60b＝5，因为5与4互质，5与3也互质，所以a、c中至少有一个含有因数5。若a含有因数5，则a20，又c3，所以a+b+c20+12+3=35若c含有因数5，则c15，又a4，所以a+b+c4+12+15=31取a=4，b=12，c=15，能构成三角形（2）若b＝60，则a+b+c＞60＞31故a+b+c的最小值为31。3、在自然数1，2，3，…，100中，能被2整除的数有50个；既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的数有6，12，18，…，96共16个，所以能被2整除但不能被3整除的数有50-16=34个，选B4、∵七位数各位数字之和为32，不能被3整除，∴任意改变七位数末四位数字的顺序得到的所有七位数均不能被3整除，故选D5、1995除以6的余数是3，且a≡1995(mod6)，所以a除以6的余数也是3，故选C6、由19n+14≡10n+3(mod83)知19n+14–(10n+3)≡0(mod83)∴9n+11≡0(mod83)∴9221991183kkkn当k=1时，n取最小值8。故选B7、由题意得n+1是3、4、5的公倍数，最小的n=345-1=598、∵y整除6又整除15，∴y整除3，所以y=1,3.代入可得：(6，1，15)，(2，3，5)，(2，3，15)，(6，3，5)，(6，3，15)五组解。9、被4整除的最大三位数是996，所求四位数可表示成x996，∵9∣996x，∴x=3,于是所求的末位数是3。10、2∣10，3∣102，4∣1020，5∣10200，6∣102000，7∣1020005，8∣10200056，9∣102000564，10∣1020005640，11∣10200056405，于是最小11位数是1020005640511、∵32n+8=9n+8∴32n+8≡1n+0(mod8)≡1(mod8)∴32n+8被8除的余数是112、设自然数N的末位数是a，则N≡a(mod10)，从而N4≡a4(mod10)，∴14≡1(mod10)，24≡6(mod10)，34≡1(mod10)，44≡6(mod10)，54≡5(mod10)，64≡6(mod10)，74≡1(mod10)，84≡6(mod10)，94≡1(mod10)，104≡0(mod10)∴14+24+34+44+…+19944+19954≡199(14+24+34+44+…+104)+14+24+34+44+54≡199(1+6+1+6+5+6+1+6+1+0)+1+6+1+6+5≡19933+19≡7+9≡6(mod10)故14+24+34+44+…+19944+19954的末位数是613、设两个自然数是a,b(a≤b)，且(a,b)=d，并设a1=da，b1=db，则(a1，b1)=1，且a+b=d(a1+b1)=667=2329.因为23，29都是质数，所以d=1或d=23或d=29(1)若d=1，则[a,b]=ab=120又因为a+b=667，所以a2-667a+120=0.但此方程中a不能是自然数，所以d≠1.(2)若d=23，则有a1+b1=29[a,b]=23[a1,b1]=23•a1•b1，所以a1•b1=dba，=120∴012029121aa，则1202911aa，把120分解质因数，可得a1=5，从而b1=24。所以a=235=115，b=2324=552(3)若d=29，则有a1+b1=23[a,b]=29[a1,b1]=29•a1•b1，所以a1•b1=dba，=120∴012023121aa，则1202311aa，把120分解质因数，可得a1=8，从而b1=15。所以a=298=232，b=2915=435综上所得，本题有两组解：115，552或232，43514、设这两个数为x,y，则x+y=40,且(x,y)+[x,y]=56，由于(x,y)[x,y]=xy，所以yxxyyx,,设(x,y)=d，则x=da，y=db，且(a,b)=1，于是可得方程组dabdba56140由于(40，56)=8，所以d=1,2,4,8当d=1,2,4时方程组无整数解，所以d=8d=8时，方程组变为65abba，可得a=2,b=3或a=3,b=2，所以x=16或24，y=24或16，从而所求的两个数为16和2415、由于五位数H97H4能被12整除，而12=34，且3，4互质，所以3∣H97H4且4∣H97H4。∴3∣(4+H+9+7+H)，即3∣(2H+20)，经试算H可取2、5或8，又因为6∣7H，所以2∣7H，故H为偶数，所以H取2或8，又因为4∣H97H4，所以4∣7H，所以H取2，所以这个五位数为42972。16、∵a,b,c,d是互不相等的整数，则x-a,x-b,x-c,x-d也是互不相等的整数。∵(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9，所以x-a,x-b,x-c,x-d均为9的约数，而9=(-1)(+1)(-3)(+3)，则(x-a)+(x-b)+(x-c)+(x-d)=(-1)+(+1)+(-3)+(+3)=0即a+b+c+d=4x，所以4∣(a+b+c+d)17、∵99＝3211，98＝722，97＝97，96＝253∴96是2533527的最大的两位约数。18、25=32≡-1(mod11)，210≡(-1)2≡1(mod11)，2400=(210)40≡140=1(mod11)即2400被11除，余数是119、31980+41981=(32)990+41981=9990+41981≡1990+(-1)1981=1+(-1)=0(mod5)所以31980+41981被5整除