上海市上海交通大学附属中学2013年高一第二学期数学月考卷

上海交通大学附属中学2012-2013学年第二学期高一数学月考二试卷（满分：100分完卷时间：60分钟）一、填空题（本大题共12小题，每题4分，满分48分）1、在等差数列an{}中，𝑎3=2,𝑎5=8，则S10＝答案：952、等差数列中，，则此数列前20项和等于答案：1803、在数列中，a1=13,an=-1()n2an-1(n³2)，则a5=答案：1634、数列中，a1=1，对于所有的n³2,nÎN，都有a1a2a3an=n2，则a3+a5=答案：6116解：由n≥2，n∈N时a1•a2•a3•…•an=n2得当n≥3时，a1•a2•a3••an﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除an=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=．5、若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=答案：-4解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b﹣d，c=b+d，由题设得，，解方程组得，或，d≠0，b=2，d=6，a=b﹣d=﹣46、在等比数列an{}中，𝑎1=1,𝑎9=3，则𝑎1𝑎2⋯𝑎9=an{}a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78an{}an{}18.(本题满分10分,第一小题满分4分,第二小题满分6分)解：（1）（2）答案：81√37、已知an{}是首项为1的等比数列，Sn是an{}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1𝑎𝑛}的前5项和为答案：解：显然q≠1，所以所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．8、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…的第1000项等于答案：45解：将数列分段，第1段1个数，第2段2个数，…，第n段n个数，设a1000=k，则a1000在第k个数段，由于第k个数段共有k个数，则由题意k应满足1+2+…+（k﹣1）＜1000≤1+2+…+k，解得k=459、若数列an{}是等差数列，首项a10，a2013+a20140，a2013a20140，则使前n项和Sn0成立的最大自然数n是答案：402610、定义在,00,上的函数fx,如果对于任意给定的等比数列na,nfa仍是等比数列,则称fx为“保等比数列函数”.现有定义在,00,上的如下函数:①;②;③;④.则其中是“保等比数列函数”的的序号为答案：①③11、设各项均为正数的等比数列an{}中，a1+a3=10，a3+a5=40.设bn=log2an，则数列anbn{}的前n项和公式是31162()fxx()2xfx()||fxx()ln||fxx()fx答案：1122nnSn分析：(1)设数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意有21124111040aaqaqaq，∴a1＝q＝2，∴an＝2n，∴bn＝n.故anbn＝n2n1122nnSn错位相减法12、已知an{}是递增数列，且对任意nÎN*，都有an=n2+ln，则实数λ的取值范围是答案：3,解：{an}是递增数列，an+1＞an，an=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，λ＞﹣3二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13、已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，若m1，且𝑎𝑚−1+𝑎𝑚+1−𝑎𝑚2−1=0，𝑆2𝑚−1=39，则m等于（）A．39B．20C．19D．10答案：B解：数列{an}为等差数列则am﹣1+am+1=2am则am﹣1+am+1﹣am2﹣1=0可化为2am﹣am2﹣1=0解得：am=1，又S2m﹣1=（2m﹣1）am=39则m=2014、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289B．1024C．1225D．1378答案：C解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由bn=n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解。15、已知两个等差数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前n项和分别为A𝑛和B𝑛，且7453nnAnBn，则使得nnab为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．5答案：D解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．16、若数列{𝑎𝑛}前8项的值各异，且𝑎𝑛+8=𝑎𝑛对任意的n∈N*都成立，则下列数列中，能取遍数列{𝑎𝑛}前8项值的数列是（）A．{𝑎2𝑘+1}B．{𝑎3𝑘+1}C．{𝑎4𝑘+1}D．{𝑎6𝑘+1}答案：B解：由已知得数列以8为周期.当k分别取1，2，3，4，5，6，7，8时，a3k+1分别与数列中的第4项，第7项，第2项，第5项，第8项，第3项，第6项，第1项相等，故{a3k+1}能取遍前8项．三、解答题（本大题共2小题，18题12分，19题20分，满分32分）17、某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金𝑑万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第𝑛年年底企业上缴资金后的剩余资金为𝑎𝑛万元．（1）用𝑑表示𝑎1，𝑎2，并写出𝑎𝑛+1与𝑎𝑛的关系式；（4分）（2）若公司希望经过m（𝑚≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金𝑑的值（用𝑚表示）．（8分）解：（1）由题意得：a1=2000（1+50%）﹣d=3000﹣d，a2=a1（1+50%）﹣d=a1﹣d=4500﹣d，…an+1=an（1+50%）﹣d=an﹣d．（2）由（1）得an=an﹣1﹣d=（an﹣2﹣d）﹣d=an﹣2﹣d﹣d=…=a1﹣d[1+++…+]整理得：an=（3000﹣d）﹣2d[﹣1]=（3000﹣3d）+2d．由题意，am=4000，即（3000﹣3d）+2d=4000．解得d==，故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m≥3）年企业的剩余资金为4000万元．18、设数列的前项和为,数列的前项和为,满足,𝑛∈𝑁∗.(1)求的值;（4分）(2)求数列的通项公式;（13分）(3)求数列{𝑆𝑛}的前𝑛项和.（3分）解:(1)当时,,而,所以,解得.（4分）(2)在中用取代的位置,有,两式相减,可得(),（2分）所以,两式相减,可得,即(),（2分）即,（2分）所以数列是一个首项为,公比为2的等比数列.（1分）在式子中,令,有,即,所以,（3分）于是,所以().（2分）当时,,也满足该式子,（1分）所以数列的通项公式是.(3)代入，𝑆𝑛=3×2𝑛−2𝑛−3，（2分）代入，得𝑇𝑛=6×2𝑛−𝑛2−4𝑛−6（1分）nannSnSnnT22nnTSn1ana1n21121TS111TSa21121aa11a22nnTSn1nn21121nnTSn221nnSan2n112211nnSan1222nnnaaa122nnaa3n1222nnaa2na22a22nnTSn2n22222TS21121222aaaaa24a22122226232nnnnaa1322nna2n1n11ana1322nna221nnSan22nnTSn