初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全---二次方程与方程组

第八章二次方程与方程组第一节一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。例1、利用直接开平方法解下列关于x的方程。（1）0)1(9)2(22xx（2）)0(0)22()(22aaxax（3）)21(2142222nxnxnxx例2、利用因式分解法解下列关于x的方程。（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1)（2）0452xx(3)02_23()12(2xx(4)0)()(22222qppqxqpx（5）xmxmxxm)1()1()1(2222例3、用配方法解下列关于x的方程。（1）)0(02acbxax（2）03)12()1(2mxmxm（3）01333223xxx§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02acbxax的两个根为1x、2x，那么1x、2x与a、b、c的关系为：两根之和abxx21；两根之积acxx21。例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222aaxaxa（1）、02)2()1(222bbbxb（2）（其中a、b均为正整数）有一个公共根。求ababbaba的值。例5、已知方程02cbxx与02bcxx各有两个根1x、2x及1x、2x，且1x2x＞0，1x2x＞0。求证：（1）1x＜0，2x＜0，1x＜0，2x＜0；（2）b-1≤c≤b+1；（3）求b、c所有可能的值。例6、已知1x、2x是方程032xx的两个根，求代数式1942231xx的值一。例7、已知a、b为整数，a＞b，且方程04)(332abxbax的两个根、满足关系式)1)(1()1()1(。试求所有适合条件的整数对（a，b）。例8、求使方程042aaxx仅有整数根的所有a。例9、已知关于x的二次方程0122nxnx（1）（n为自然数，且n≥2）。当n＝2时，此方程的两根记作2、2；当n＝3时，此方程的两根记作3、3；…；当n＝100时，此方程的两要记作100、100。求)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(11001003322的值。例10、设m不为0的整数，二次方程01)1(2xmmx有有理根。求m的值。例11、方程065422aaaxx有两个实根，且两根差的绝对值为6。求a的值。§3、可化为一元二次方程求解的高次方程举例§4、可化为一元二次方程的分式方程和无理方程§5、一元二次方程在其它相关问题中的运用【针对训练】第二节二元二次方程组的解法【赛题精选】【针对训练】第三节不定方程初步【知识点拨】所谓不定方程（方程组）是指未知数个数多于方程个数的方程（方程组）。不定方程的解是不确定的，有的有无数组解，有的无解，有的仅存在的限组解。对于不定方程（组），主要涉及有关方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。（一）二元一次不定方程无解的判定方法在不定方程ax＋by＝c中（a、b、c均为正整数），若a与b的最大公约数不能整除c，则该不定方程无整数解。（二）二元一次方程有解的判定方法在整系数不定方程ax＋by＝c的系数a、b互质时，方程ax＋by＝1或ax＋by＝c都有整数解。【赛题精选】例1、求方程5x＋6y＝16的整数解。例2、求方程7x＋4y＝100的正整数解。例3、求方程63x＋8y＝－23的整数解。例4、求三元不定方程3x＋2y＋9z＝25的整数解。例5、已知直角三角形的三边长均为正整数，且周长与面积的数值相等，求满足条件的所有直角三角形。例7、若不等边三角形各边长均为正整数，且周长小于13CM，求这样的三角形的个数。例8、若一个两位数除以它的反序数所得的商恰好等于余数，则这样的两位数是多少？例9、有两堆石头，若从第一堆搬100块到第二堆，则第二堆的数目将变成第一堆的两倍；反之，若从第二堆搬若干到第一堆，则第一堆将变成第二堆的6倍。问第一堆至少多少块石头？并求出此时第二堆的数目。例10、A市、B市和C市分别有某种机器10台、10台、8台。现决定把这些机器支援给D市18台、E市10台。已知从A市调运一台机器到D市和E市的运费为200元和800元，从B市调运一台机器到D市和E市的运费分别为300元和700元；从C市调运一台到D、E市的运费分别为400元和500元。（1）已知从A市、B市各调x台机器到D市，当28台机器全部调运完毕后，求总运费W（元）与所调机器台数（x）之间的关系式，并求出总运费W的最大值与最小值。（2）已知从A市调x台机器到D市，从B市调y台机器到D市，当这28台机器全部调运完毕后，求总运费与调运的机器台数（x与y）之间的关系式。并求出这时总运费W的最大与最小值。例11、现在质量分别为9克和13克的砝码若干，在天平上要称出质量为3克的物体，问至少要用多少只这样的砝码才能称出？例12、小明到水果店买了xkg苹果（x为整数），按标价应付y元，且正好等于小明总和为20元的5张人民币中的2张面值之和。这时苹果筐里还剩下6kg苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的苹果全买了，那么连同刚才的苹果你只要付10元钱就可以了。”小明一算，这相当于每千克苹果比原来的标价便宜了0.5元，于是买下了剩下的苹果。试求x与y分别是多少？【针对训练】第四节应用问题选讲【赛题精选】例1、某商场经销一种商品，由于进货时的价格比原来的进价降低了6.4%，这样便使得利润增加了8个百分点，那么销售这种商品原来的利润率是多少？例2、东堤边的一块洼地发生了管涌，江水不断涌出，假定每分钟涌出的水量相等。如果每用两台抽水机抽水，40分钟可以抽完；如果用同样的4台抽水机抽水，则需16分钟，如果要在10分钟内把水抽完，那么至少要多少台抽水机？例3、现有12名旅客要赶往40KM远的火车站，现在离开车时间只有3个小时，如果他们单独以4KM/h的速度步行，那么肯定不能赶到火车站，如果再借助一辆连同司机最多能坐5人且时速为60Km/h的小汽车，那么这12人参赶上火车吗？例4、自动扶梯由上向下运动，甲从顶部朝下走到底部，共走了150级，乙从底部朝上走到顶部，共走了75级。若甲的速度（在单位时间内所走的电梯的级数）的3部，求扶梯从顶部到底部共有多少级？例5、某工地上有A、B两个土堆，此外还有一个洼地E和一个漏池塘F。两个土堆的土方数分别为781方、1584方，而且已知洼地E需要填土1025方，池塘F可以填土1390方。现在要挖掉这两个土堆，并用这些土先填洼地E，再将余下的土填入池塘F。如何安排运土方案，才能使工程量最省？例6、一水果商欲将刚收购的一批容易变质的水果运往外地销售，他想用汽车、火车或飞机这三种运输工具中的一种。如果飞机、火车、汽车的行驶速度分别为200km/h、100km/h、50km/h；运费分别是16元/km、4元/km、8元/km；而且所用的装卸费分别是1000元、2000元、1000元；装卸时间分别是2h、4h、2h。这批水果在运输过程中（包括装卸过程）的损耗经计算折合为200元/h，收购地点与销售地点之间的路程记为xkm。(1)用x表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出W1、W2、W3（包括损耗）；(2)采用哪一种运输方式，才能使运输过程中所支出的费用最小？例7、甲乙两车同时由A开往B地，甲车在前一半路程中的速度为V1，在后一半路程中的速度为V2（V1≠V2）；乙车在前一半时间内的速度为V1，在后一半时间内的速度为V2。试问哪辆车先到达终点？再给出证明过程是。例8、现在浓度为5%、8%、9%的甲乙丙三种溶液60g、60g、47g，要配制浓度为7%的溶液100g，问最多需甲种溶液多少克？最少需甲多少克？例9、甲乙两人分别从矩形跑道ABCD的A、B两点出发，并沿矩形按逆时针方向前进（即沿A→B→C→D→A→B→C→…的方向前进），若甲的速度是65m/min，乙的速度为74m/min，则乙至少在跑第几圈时才可能第一次追上甲？乙至多在跑第几圈时一定能追上甲？例10、一幢33层的大楼，除了设有扶手楼梯外，在大楼的第一层有一部最多能容纳32人的电梯，但该电梯在上升的过程中只能在第2层至第33层中的某一层停一次。现假设32人分别居住在该大楼的第2层到第33层，他们对下一层楼梯感到不满意的程度记为1分，对上一层楼梯感到不满意的程度记为3分。若某天这32人都同时聚在第一层，那么电梯在哪一层停一次，才可以使得这32人感到不满意的程度的总分值最小？最小值是多少？（提示：可以让一些人不乘电梯而直接从扶手楼梯上楼。）例11、自2001年11月16日起，证券交易所印花税调到成交金额的0.2%，另外证券营业部还要从股票交易中收取成交额的0.35%的佣金。（1）现假设某人以每股10元的价格，买进某股票1000股，并在第二天以相同的价格卖出了这批股票，试问此人在这一买一卖的交易中赚还是赔？赚赔是多少？（2）如果此人想保本不赔，他至少以每股多少元的价格卖出这批股票？（3）如果此人在第三天的交易中才卖出这些股票，并赚得1978.5元，试问这种股票平均每天的增长率是多少？【针对训练】