初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全--函数图像与统计初步

第十三章函数图像与统计初步第一节正比例与反比例【知识点拨】（一）定义1、函数y=kx+b，①k≠0时，称之为一次函数；k＝0时，称之为常数函数。②b＝0时称之为正比例函数。（二）函数的性质1、自变量的取值范围（非实际问题一般是使函数解析式有意义的一切实数，实际问题不要考虑实际意义）2、函数值的范围3、函数的图像4、函数的单调性（是指函数值随自变量的变化而递增或递减的变化情况）5、函数图像的对称性（是指中心对称、轴对称）6、函数图像的特殊点（特别是图像与x、y轴的交点、最高点、最低点、不动点等）（三）研究函数常见的问题1、求函数的解析式2、用函数的图像3、研究与函数相关的性质（四）思路与方法一次函数（尤其是正比例函数）和反比例函数是比较简单同时又很重要的函数，有许多问题可以利用它们来研究，更重要的是研究它们的思想和方法也是研究其他的函数的思想和方法。【赛题精选】例6、有一长为3、宽为1的长方形纸片，现要在这张纸片上画两个小长方形，使小长方形的每条边都与大长方形的一边平行，并且每个小长方形的长宽之比都为3：1，然后把它们剪下，这时剪下的两个小长方形纸片的周长之和有最大值。求这个最大值。例7、在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝22，CD＝16。（1）在斜腰上任取一点P，过P作底边的垂线，与上下两底所在的直线交于E、F，设PE长为x，PF长为y，求y与x的函数表达式。（2）如果S△PCD＝S△PAB，点P应在什么地方？例8、某家电生产企业跟踪市场调进分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工时1/21/31/4产值（千元）432问每周生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少千元？【针对训练】第二节图像解题【知识点拨】【赛题精选】例2、画函数21xxy的图像。【说明】（1）解题步骤：先化函数解析式，再画图像，在画图像时要注意自变量x的范围。（2）本例可有如下变题。变题1、求函数21xxy的最小值。变题2、解不等式321xx。例3、画出1yx的图形，并求它所围成的图形的面积。例4、如果把函数y＝2x的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的图像是函数（）的图像。A、y=x-2B、y=2x-1C、y=2x-3D、y=2x+3E、y=2x例6、问方程321xxx的解的个数。例7、已知点A（1,2）和点（3,4），在坐标轴上求点P，使PA＋PB最小。【针对训练】第三节二次函数【知识点拨】【赛题精选】【说明】本例采用的是二次函数的一般式，但根据本例中的抛物线的顶点为（－2,3）这个条件，可用二次函数的顶点式3)2(2xay一，于是易得a＝－3。这种解法要比一般式快捷，故在解题时，要根据题中的条件选用适当的形式。例3、二次函数cbxaxy2的图像的一部分如图，试确定a的取值范围。【说明】要能抓住图像的特点，要能由整体推知局部，也要能由局部推知整体。这样才能更好地用数形结合的思想处理问题。例4、解不等式0232xx。【说明】（1）本例利用这样的方法可以总结出求解二次不等式的一般方法，其具体步骤是：①二次项系数是负的，先利用不等式的性质化为正的；②求出不等式所对应的方程的根；③利用“大于取两边，小于取中间”写原不等式的解集。这里的大于、小于是指二次项系数化为正值后的不等式中的不等号男；两边、取中间指的是方程的两根的中间、两边。如：解不等式0232xx。（2）对于含参数的不等式在求解时一般需讨论。如：变题：解不等式(x-2a)(x-a-2)＜0。【说明】（1）本例属一元二次方程的根的分布问题，在解决这样的问题时应从函数)0(2acbxaxy的自变量取方程02cbxax的根所在的范围的边界处的函数值的正、负着手考虑问题，或把条件直接转化成可利用一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式的问题来处理，本题还有解法。试一试呢！（2）本例还有以下变形。变题1：关于x的方程0152mxx的两实根均大于3，求m的范围。变题2：关于x的方程0152mxx的两实根一根大于0是小于2，另一根大于4而小于5。求m的范围。【说明】1、本例第（1）问是结论型的探索性问题。解题时要充分利用二次函数图像的对称性，同时△ABC的具体形状可以先猜测后证明；第（2）问属于情况不存在的探索问题，运用反证法，通过比∠MQP与∠PQC的大小，来确定满足条件的P点是否存在。2、本例是二次函数与平面几何相结合的综合题，在解题时要充分利用图形的性质和有关图形的判定方法。【说明】（1）本例是一次函数与二次函数两个基本函数的串联，在解题时要弄清题意进行正确的分析，以便求出问题的解答；（2）本例的问题最终化为一个两段均是有条件限制的二次函数，在解决问题时要利用分类讨论的思想，分段求出最大值，再取两者中的大者。【针对训练】第四节锐角三角函数与直角三角形【知识点拨】【赛题精选】例1、求22.5°的角的正弦、余弦、正切、余切。【说明】（1）用定义是求三角形函数值的最基本最重要的方法；（2）利用定义求三角函数值时要构造含有所求角的直角三角形，如本例。例8、在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝a，AC＝b，E是AC上一动点，F在BC上。E从点A开始向C运动且保持EF⊥BE。试求S△FEC与点E运动时与点A的距离x的关系式。【针对训练】第五节统计初步【知识点拨】【赛题精选】例1、某校为了了解期中学生做广播操的出勤率，在其中30天里对出勤情况进行了统计。其总体、个体、样本、样本容量分别是什么？例2、在一次知识竞赛中，某班50名同学的成绩如下：得分5060708090100110120人数2361415541例3、五个数3、1、6、3、x的平均数是4，求x。【说明】关键在于弄清平均水平、优秀以及波动在统计中的意义是什么！【说明】（1）在概率分布直方图中小长方形的面积为频率，因而这样的小长方形面积之和为1；小长方形的高之比为频率之比；（2）要在给出数据和具体要求下会画频率分布直方图。【针对训练】⊥∥≌≠≤≥§→△ABC∠⊙O≠⌒∽AB【说明】这就