初中数学奥林匹克训练题5(试卷)

初中数学奥林匹克训练题（5）第一试一、填空题1、设x、y为实数，21xy，则二元函数2242uxxyy的最小值是_________．2、函数3123fxxx的值域为________3、数列:1,3,3,3,5,5,5,5,5,nx由全体正奇数自小到大排列而成，并且每个奇数k连续出现k次，1,3,5,k，如果这个数列的通项公式为nxabncd则abcd4、,xy为实数，满足221xy，则222xxyy的最大值为.5、若集合A中的每个元素都可表为1,2,,9中两个不同的数之积，则集A中元素个数的最大值为.6、作出正四面体每个面的中位线，共得12条线段，在这些线段中，相互成异面直线的“线段对”有个.7、用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有种.8、数列na满足：011,,1,2,3,nnaasn，（其中x表示x的整数部分，0,0,1,2,kkiisak），2006a=_________________.9、设锐角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试求△ABC的最小内角的取值范围为.10、设442)1()1()(xxxxkxf。如果对任何]1,0[x，都有0)(xf，则k的最小值为EDCBA二、解答题1、以△ABC的三边为边向形外作正方形ABDE、BCFG、ACHK，设L、M、N分别为DE、FG、HK的中点．求证：AM、BN、CL交于一点．2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：AK⊥BC；HKQPDCBARQPNMLKHGFCEDBA3、在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：GAC=EAC．（1999年全国高中数学联赛）4、在三个角都小于120°的ΔABC所在平面上求一点P，使PA+PB+PC取得最小值．初中数学奥林匹克训练题（5）第二试1、将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项。2、如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.PEDGABFC图23、设k是实数，42421()1xkxfxxx对任意三个实数a,b,c存在一个以(),(),()fafbfb为三边长的三角形，求k的取值范围.4、求所有正整数x，y，使得23xy与23yx都是完全平方数．5、桌上放有n根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.