上海市浦东新区2014届高三5月综合练习（三模）数学理试题

浦东新区2014年5月高考练习卷数学（理）答案及评分细则2014.05一、填空题----结果等价即可得分1.[0,1].2.(,1].3.120.4.4.5.2yx.6.13.0%.7.3.8.1,2.9.32．10.21.11.422.12.213.81.14.12.二、选择题15.C16．C17．A18.D三、解答题----其它解法相应得分19．【解答】设圆柱的高为h，底面半径为r，圆锥的母线长为l，h=2r.（1）因为圆柱的所有母线都平行于OP，圆锥的任意一条母线与轴OP组成全等的直角三角形，如图，APO为圆柱的母线和圆锥的母线所成的角.………………………………2分在RtAOP中，1tan2OAAPOAP，则1arctan2APO…………………4分所以，圆柱的任意一条母线和圆锥的任意一条母线所成的角都相等，为1arctan2.……6分（2）2hr，225lhrr………………………………………………………8分22=226Srhrr柱,…………………………………………………………9分21=2(15)2Srlrr锥………………………………………………10分故，63(51)215SS柱锥。…………………………………………………………12分20.21()2sincos()2sin6fxxxx解：（）33sin(2)32x……………………………………………………3分所以，()fx的最小正周期为T…………………………………………………………4分333()3sin(2)0;()3sin()663263322()()()()6666ffffff且所以，函数()fx是非奇非偶函数。…………………………………………………………6分（2）由3()3sin(2)032fAA得3sin(2)32A因为A是ABC的内角，所以，6A………………………………………………8分由ABtACBC，得ABtACACAB两边平方，整理得，222220ACtABACtABACAC对任意实数t恒成立所以2224()4(2)0ABACACABACAC……………………………10分得22()0ABACAC则有20ABACAC且ACm所以233ABm………………………………………………………………12分221123138sin32623263ABCSABACmm（当且仅当4m等号成立）所以，当4m时，ABC面积的最大值为833…………………………………14分21．解：（1）依题意111()()2kkknaxCx，1,2,3,,1kn，…………2分123(),(),()axaxax的系数依次为01nC，1122nnC，221(1)()28nnnC，…4分所以(1)2128nnn，解得8n；………………………………6分（2）1231()()2()3(),()(1)()nnFxaxaxaxnaxnax01221111112()3()()(1)()2222nnnnnnnnnCCxCxnCxnCx…………8分0121(2)23(1)nnnnnnnFCCCnCnC……………………………9分设012123(1)nnnnnnnnSCCCnCnC，则1210(1)32nnnnnnnnSnCnCCCC考虑到knknnCC，将以上两式相加得：01212(2)()nnnnnnnnSnCCCCC,所以1(2)2nnSn……12分又当[0,2]x时，()Fx是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意12,[0,2]xx，112|()()|(2)(0)(2)21nFxFxFFn．…14分22．解：(1)由抛物线C的方程2axy（0a）得，焦点坐标为)41,0(a，………2分准线方程为ay41．……………………………………………………………………4分(2)因为点)1,1(P在抛物线2axy上，所以1a，抛物线方程为2xy．…………………………………………5分由③式知111kx，代入2xy得211)1(ky．将1代入⑥式得211xk，代入2xy得222)1(ky．因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为2111(1,21)Akkk，2111(1,21)Bkkk．于是2111(2,2)APkkk，11(2,4)ABkk，…………………………7分2111111112(2)4(2)2(2)(21)APABkkkkkkkk．因PAB为钝角且P、A、B三点互不相同，故必有0APAB．求得1k的取值范围是12k或1102k．………………………………8分又点A的纵坐标1y满足211(1)yk，故当12k时，11y；当1102k时，1114y．即11(,1)(1,)4y………………………………………………10分(3)证明：设直线PA、PB的方程分别为)(010xxkyy、)(020xxkyy．……………………………………………………………………………………11分点),(00yxP和点),(11yxA的坐标是方程组0102()yykxxyax①②的解．将②式代入①式得000112yxkxkax，于是akxx101，故011xakx③…………………………………………………………13分又点),(00yxP和点),(22yxB的坐标是方程组0202()yykxxyax④　　　　⑤的解．将⑤式代入④式得000222yxkxkax．于是220kxxa，故220kxxa．…………………………………14分由已知得，12kk，则012xkax．⑥设点M的坐标为),(MMyx，由BMMA，则112xxxM．…………15分将③式和⑥式代入上式得0001xxxxM，即00xxM．∴线段PM的中点在y轴上．…………………………………………………………16分23.解：（1）由题设得1043aa，3a、4a均为非负整数，则3a的可能的值为1,2,5,10.若13a，则104a，235a，与题设矛盾，若53a，则24a，2355a，与题设矛盾，若103a，则14a，605a，536a，与题设矛盾，所以23a.…………………………………………………………………………4分（2）用数学归纳法证明.（i）当3n，213aa，等式成立。………………………………………5分（ii）假设当kn（3k）时等式成立，即22kkaa，………………6分由题设)2()2(211kkkkaaaa，∵022kkaa，∴211kkaa，也就是说，当1kn时，等式211kkaa成立.………………………9分根据（i）和（ii），对于所有3k，有211kkaa.……………………10分（3）由21)1(212kkaa，01a及2)1(22kkaa，32a，得)1(212kak，122kak，,3,2,1k.（注：n为奇数时，1nan；n为偶数时，1nan.则为偶数为奇数nnnnan,1,1）即nnna)1(，,3,2,1n.…………………………………………14分所以为奇数。，当为偶数，当nnnnnnSn1)1(21),1(21即2)1(12)1(nnnnS（注：n为偶数时，)1()14()13()12()11(nSn2)1(21nnnn为奇数时，12)1(12)1(1nnnnnaSSnnn.………………18分