初中数学竞赛辅导资料(4)

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初中数学竞赛辅导资料(4)零的特性甲内容提要一,零既不是正数也不是负数,是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数,是整数,是偶数。1,零是表示具有相反意义的量的基准数。例如:海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。2,零是判定正、负数的界限。若a>0则a是正数,反过来也成立,若a是正数,则a>0记作a>0a是正数读作a>0等价于a是正数b0b是负数c≥0c是非负数(即c不是负数,而是正数或0)d0d是非正数(即d不是正数,而是负数或0)e0e不是0(即e不是0,而是负数或正数)3,在一切非负数中有一个最小值是0。例如绝对值、平方数都是非负数,它们的最小值都是0。记作:|a|≥0,当a=0时,|a|的值最小,是0,a2≥0,a2有最小值0(当a=0时)。4,在一切非正数中有一个最大值是0。例如-|X|≤0,当X=0时,-|X|值最大,是0,(∵X≠0时都是负数),-(X-2)20,当X=2时,-(X-2)2的值最大,是0。二,零具有独特的运算性质1,乘方:零的正整数次幂都是零。2,除法:零除以任何不等于零的数都得零;零不能作除数。从而推出,0没有倒数,分数的分母不能是0。3,乘法:零乘以任何数都得零。即a×0=0,反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。4,加法互为相反数的两个数相加得零。反过来也成立。即a、b互为相反数a+b=05,减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定,若a-b=0,则a=b;若a-b>0,则a>b;若a-b<0,则a<b。反过来也成立,当a=b时,a-b=0;当ab时,a-b0;当ab时,a-b0.三,在近似数中,当0作为有效数字时,它表示不同的精确度。例如近似数1.6米与1.60米不同,前者表示精确到0.1米(即1分米),误差不超过5厘米;后者表示精确到0.01米(即1厘米),误差不超过5毫米。可用不等式表示其值范围如下:1.55近似数1.61.651.595≤近似数1.601605乙例题例1.两个数相除,什么情况下商是1?是-1?答:两个数相等且不是0时,相除商是1;两数互为相反数且不是0时,相除商是-1。例2.绝对值小于3的数有几个?它们的和是多少?为什么?答:绝对值小于3的数有无数多个,它们的和是0。因为绝对值小于3的数包括大于-3并且小于3的所有数,它们都以互为相反数成对出现,而互为相反数的两个数相加得零。例3.要使下列等式成立X、Y应取什么值?为什么?①X(Y-1)=0,②|X-3|+(Y+2)2=0答:①根据任何数乘以0都得0,可知当X=0时,Y可取任何数;当Y=1时,X取任何数等式X(Y-1)=0都是能成立。②∵互为相反数相加得零,而|X-3|≥0,(Y+2)2≥0,∴它们都必须是0,即X-3=0且Y+2=0,故当X=3且Y=-2时,等式|X|+(Y+2)2=0成立。丙练习41,有理数a和b的大小如数轴所示:b0a比较下列左边各数与0的大小(用>、<、=号連接)2a0,-3b0,a10,-b20,-a20,-b30,a+b0,a-b0,ab0,(-2b)30,ba0,ba02,a表示有理数,下列四个式子,正确个数是几个?答:__个。|a|a,a2-a2,a-a,a+1a3,x表示一切有理数,下面四句话中正确的共几句?答:__句。①(x-2)2有最小值0,③-|x+3|有最大值0,②2-x2有最大值2,④3+|x-1|有最小3。4,绝对值小于5的有理数有几个?它们的积等于多少?为什么?5,要使下列等式成立,字母X、Y应取什么值?①X0=0,②X(X-3)=0,③|X-1|+(Y+3)2=06,下列说法正确吗?为什么?①a的倒数是a1②方程(a-1)X=3的解是X=13a③n表示一切自然数,2n-1表示所有的正奇数④如果ab,那么m2am2b(a、b、m都是有理数)7,X取什么值时,下列代数式的值是正数?①X(X-1)②X(X+1)(X+2)

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