初中数学竞赛辅导资料(16)

初中数学竞赛辅导资料第十二课竞赛复习课1例1（第1届华罗庚金杯赛决赛题）将自然数1、2、3、…按下图排列，从1开始，右边写2，然后向下转弯写3，再向左转写4、5，再向上转弯写6、7…，这样，第一次转弯是2，第二次转弯是3，第三次转弯是5，第四次转弯是7，问第20次转弯是几。解：从第一个数开始，每转一个弯数字增加规律是1，1，2，2，3，3，4，4，…即每个自然数顺次写两遍，于是第2n个弯的数为1+2（1+2+3+…+n）=1+n（n+1），第2n+1个弯处的数为1+n（n+1）+n+1=（n+1）2+1。于是第20个弯处的数是10（10+1）+1=111例2把正有理数按如下顺序排列（允许重复，不约分）：11；12，21；13，22，31；14，23，32，41；…试问5174是在这个序列中的第几个位置。解：∵74+51=125，∴5174在序列中的第124组里，这一组里的分数排列顺序如下：1124，2123，3122，…5174，…1232，1241，∴5174在第124组里的第51位。∴它在整个序列中的位置为1+2+3+…+123+51=2)1231(123+51=7677（位）即5174在所给的序列里第7677位。想一想任意写一个分数qp（p，q为自然数），怎样确定它在本题所给的序列中的位置。例3从1起99个连续自然数的和为多少？从51起99个连续自然数的和为多少？从任意一个自然数α起99个连续自然数的和为多少？从α起任意n个连续自然数的和又为多少？例4购买十种货物A1、A2、…、A10，如果购买件数分别为1、3、4、5、6、7、8、9、10、11件，共需人民币1992元，如果购买件数是1、5、7、9、11、13、15、17、19、21件，则需3000元，那么各买一件共需多少元（第六届北京迎春杯决赛题）解：设每件货物的定价依次为α1、α2、…、α10，则α1+3α2+4α3+5α4+6α5+7α6+8α7+9α8+10α9+11α10=1992①α1+5α2+7α3+9α4+11α5+13α6+15α7+17α8+19α9+21α10=3000②由①×②-②得：α1+α2+α3+α4+α5+α6+α7+α8+α9+α10=984例5已知α=6915681467136612651170156914681367126611×100问α的整数部分是多少？（第三届华罗庚金杯赛决赛题）解：由已知得α=100+691568146713661265111514131211×100设11×65+12×66+13×67+14×68+15×69=m，则m11×69+12×69+13×69+14×69+15×69,m11×65+12×65+13×65+14×65+15×65,∴69100m151513121165100∴100+69100α100+65100∴α的整数部分为101