初中数学竞赛讲座--- 分解方法的延拓1

第一讲分解方法的延拓——换元法与主元法因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．例题求解【例1】分解因式：10)3)(4(2424xxxx=．(“五羊杯”竞赛题)思路点拨视24xx为一个整体．用一个新字母代替，从而能简化式子的结构．【例2】多项式xyzyzxyzxxzzyyx2222222因式分解后的结果是()．A．(y－z)(x+y)(x－z)B．(y－z)(x－y)(x＋z)C．(y+z)(x一y)(x+z)D．(y十z)(x+y)(x一z)(上海市竞赛题)思路点拨原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．【例3】把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+x2；(天津市竞赛题)(2)1999x2一(19992一1)x一1999；(重庆市竞赛题)(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2；(“希望杯”邀请赛试题)(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－125(x－y)3．(第13届“五羊杯”竞赛题)思路点拔(1)是形如abcd+e型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．【例4】把下列各式分解因式：(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2(a一b)；(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．思路点拨(1)式字母多次数高，可尝试用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多项式，解题思路宽，用主元法或分组分解法或用待定系数法分解．【例5】证明：对任何整数x和y，下式的值都不会等于33．x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5．(莫斯科奥林匹克八年级试题)思路点拨33不可能分解为四个以上不同因数的积，于是将问题转化为只需证明原式可分解为四个以上因式的乘积即可．注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：（1）按字母分组：(2)按次数分组；(3)按系数分组．为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：（1）))((2233babababa；(2)))((3222333acbcabcbacbaabccba学力训练1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝．2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12=．3．分解因式：x2－xy－2y2－x－y=．(重庆市中考题)4．已知二次三项式82mxx在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m的可能取值为．5．将多项式3224xx分解因式，结果正确的是（）．A．)1)(3(22xxB．)3)(1(22xxC．)1)(1)(3(2xxxD．)3)(3)(1(2xxx(北京中考题)6．下列5个多项式：①12222baba；②322327279axaaxx；③bdccbdydcbx222)()(；④)(6)(3mnnnmm；⑤xx4)2(2其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）．A．①、②、③B．②、③、④C．①③、④、⑤D．①、②、④7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是()．A．2727923xxxB．272723xxxC．272734xxxD．279323xxx(“希望杯”邀请赛试题)8．若51ba，13ba，则53912322baba的值为()．A．92B．32C．54D．0(大连市“育英杯”竞赛题)9．分解因式（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；(3)x4+2001x2+2000x+2001；(4)(6x－1)(2x－1)(3x－1)(x－1)+x2；(5)bcacabcba54332222；(6)613622yxyxyx．(“希望杯”邀请赛试题)10．分解因式：12)5)(3)(1(2xxx=．11．分解因式：22635yyxxyx=．12．分解因式：333)()2()2(yxyx=．（“五羊杯”竞赛题）13．在1~100之间若存在整数n，使nxx2能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n有个．(北京市竞赛题)14．613223xxx的因式是()A．12xB．2xC．3xD．12xE．12x15．已知cba，M=accbba222，N=222cabcab，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不能确定(第“希望杯”邀请赛试题)16．把下列各式分解因式：(1)22212)16)(1(aaaaa；(2)91)72)(9)(52(2aaa；(湖北省黄冈市竞赛题)(3)2)1()21(2)3()1(yxyxxyxyxy；(天津市竞赛题)(4)4242410)13)(14(xxxxx；（“五羊杯”竞赛题）(5)zyxyxyzyxzxx222232242．(天津市竞赛题)17．已知乘法公式：))((43223455babbabaababa；))((43223455babbabaababa．利用或者不利用上述公式，分解因式：12468xxxx(“祖冲之杯”邀请赛试题)18．已知在ΔABC中，010616222bcabcba(a、b、c是三角形三边的长)．求证：bca2(天津市竞赛题)