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第12章机械波教学要求:1.掌握机械波的基本概念:机械波产生与传播、横波与纵波、波线、波面与波前。2.熟练掌握描述波动的物理量:波长、波的周期和频率、波速。3.掌握简谐波、波动方程、波的能量特征、平均能量密度、平均能流密度,能求平面简谐波波动方程。4.掌握波的惠更斯原理、迭加原理、波的干涉条件和干涉相长相消的条件。5.了解驻波、多普勒效应。教学内容:12.1机械波的产生和传播12.2平面简谐波12.3波的能量12.4惠更斯原理12.5波的干涉12.6驻波12.7多普勒效应台湾遥测图条件:12.1机械波的产生和传播一、机械波的产生二、横波和纵波质点振动方向波传播方向。质点振动方向//波传播方向。波源横波纵波弹性介质中,机械振动由近及远地传播出去,形成机械波。弹性介质说明(1)波动中各质点并不随波前进;yux波动曲线(2)波动是振动状态(相位)的传播,沿传播方向各质点相位依次落后。质点振动方向波的传播方向。横波说明(1)波动中各质点并不随波前进;(2)波动是振动状态(相位)的传播。质点振动方向//波的传播方向。纵波说明(1)波动中各质点并不随波前进;(2)波动是振动状态(相位)的传播。三、波面和波线在波传播过程中,振动相位相同的点联结成的面。沿波的传播方向的直线。球面波柱面波波面波线波面波线在各向同性均匀媒质中,波线⊥波面。波面波线波前在某一时刻,波传播到的最前面的波面。注意波线波面波长(λ)四、波长、周期、频率和波速波前进一个波长距离所需的时间。频率T1T周期()振动状态在媒质中的传播速度。Tu:)波速(u波速与波长、周期和频率的关系为同一波线上相位差为2的相邻两点之间的距离。(2)波的频率与媒质的性质无关;Yula.拉紧的绳子或弦线中横波的波速为Tutb.均匀细棒中,纵波的波速为:(3)波速u大小主要决定于媒质的性质。说明T——张力——线密度Y——固体棒的杨氏模量——固体棒的密度(1)波长反映了波的空间周期性。周期表征了波的时间周期性;Buld.液体和气体只能传播纵波,波速c.固体媒质中传播的横波速率Gut——固体的切变弹性模量G——固体密度——流体的容变弹性模量B——流体的密度e.稀薄大气中的纵波波速为pMRTul——气体摩尔热容比M——气体摩尔质量R——气体摩尔常数波面为平面的简谐波。12.2平面简谐波平面简谐波平面简谐波说明(1)复杂的波可分解为一系列简谐波;(2)平面简谐波各处振幅相同。简谐波谐振动在介质中的传播(介质中各质点作同频率、同振幅的谐振动)。一、平面简谐波的波函数00cos()yAtyxxuPO经过t=x/u时间,O点振动相位传播到任一点P,所以P点振动的相位比O点落后0(,)cos[()]xyxtAtut设O点振动方程为P点t时刻的相位为0t所以P点振动方程,亦即波函数为0xtuux/])(π2cos[),(0xutAtxy])(π2cos[),(0xtAtxy])(π2cos[),(0xTtAtxy波函数其它形式讨论])(cos[),(0uxtAtxy(2)当t=t0时,y=y(x)表示t0时刻各个质点的位移。(1)当x=x0时,y=y(t)是x0处振动方程;ytyxx0处质点的振动方程t0时刻的波形曲线(3)波函数t1时刻,x1处质点的位移为若tux])(cos[),(01111uxtAtxy])(cos[),(02222uxtAtxy),(),(2211txytxyt2(=t1+t)时刻,x2(=x1+x)处质点的位移为yx])(cos[),(0uxtAtxyx1处质点的位移在Δt时间后出现在x2(=x1+ut)处,即x1处点的位移经Δt时间传播了x=ut的距离,传播速度为u。})]()[(cos{011uxtuxtAux1x2tut1时刻波形t1+Δt时刻波形,则有。如图,以B为原点。cos[4π(1/8)]AyAt(1)波函数;(2)若u沿x轴负向,情况又如何?例BA1xx已知A点的振动方程为:(1)在x轴上任取一点P,该点比A点的相位落后)]81([π4cos),(1uxuxtAtxyP点振动方程亦即波函数为解uPxtP点t时刻的相位为)81(π4t)81(π41uxxtuxx1求说明求解平面简谐波的波函数,其实是确定振动方程已知的一点与任一点P的相位关系。(2)P点比A点的相位超前)]81([π4cos),(1uxuxtAtxyP点振动方程亦即波函数为uxxtu1P点t时刻的相位为)81(π4t)81(π41uxxt如图,以B为原点。)]8/1(π4cos[tAyA(1)波函数;(2)若u沿x轴负向,情况又如何?例BA1xx已知A点的振动方程为:解uPx求一平面简谐波沿x轴正方向传播,已知其波函数为0.04cos(500.10)mytx)210.0250(π2cos04.0xty0.04mA20.04s50T220m0.10500m/suT])(π2cos[),(0xTtAtxy(1)标准形式波函数为比较可得例解(1)波的振幅、波长、周期及波速;(2)质点振动的最大速度。p91求0.0450πsinπ(500.10)ytxtvm/s28.65004.0maxv(2)u二、平面波的波动微分方程0(,)cos[()]xyxtAtu])(cos[0222uxtAty])(cos[02222uxtuAxy222221tyuxy平面简谐波的波函数(2)它广泛适用于电磁波、热传导、化学中的扩散等过程;(1)上式适用于一切沿x方向传播平面波,系数倒数的平方根是传播速度;(3)若物理量是在三维空间中以波的形式传播,波动方程为2222222221tuzyx说明22ty12.3波的能量波动过程运动形变波动过程是能量的传播过程质元动能势能一、波的能量和能量密度xyYSFyxSYFyk2p12Wky/2Yu22p1()2yWuVx])([sin210222uxtmA1.线元势能根据有221yxYS2)(21xyxYS2)(21xyVY202]})(sin[{21uxtuAmuxyFF222k01sin[()]2xWmAtu222p01sin[()]2xWmAtu3.线元的机械能2k12Wmv2.线元的动能线元势能222kp0sin[()]xWWWmAtu])(cos[0uxtAy将代入上式2)(21tym222kp0sin[()]xWWWmAtu(1)任一质元的动能和势能同步变化,即Wk=Wp;讨论xyuOAB机械能动能、势能同时达到最小动能、势能同时达到最大(2)质元机械能W随t变化,波动过程是能量的传播过程。速度最大,形变也最大速度最小,形变也最小弹簧谐振子•动能和势能变化不同步•机械能守恒二、能流密度1.能量密度TtwTw0d1设质元横截面为S,体密度为xSWw则单位体积线元中的机械能(能量密度)为一个周期内的平均能量密度])([sin0222uxtA2221A说明质元能量密度w变化的角频率为。xyFFS])([sin0222uxtAw2.能流(能量的传播)ttSwuPddwuS(单位时间内通过截面的波动能量)uSudt•能流密度(通过垂直单位截面积上的能流)wuSPJdd•能流•波的强度(一个周期内能流密度大小的平均值)TtJTJI0d1uA22212ATtwTu0d1wu说明波的强度I与振幅A的平方成正比。三、平面波和球面波的振幅1.平面波1S2Su(介质不吸收能量)21WW21AA介质不吸收能量得TSIW111uSTATSIW22222221平面波在媒质不吸收的情况下,各处振幅相同。一个周期内通过两个面的能量分别为说明I1I2A1A2uSTA221212.球面波1S2S1r2r2211rArA0])(cos[),(00rurtrAtry得球面波的振幅随r增大而减小。则球面简谐波的波函数为设距波源单位距离处波的振幅为A0,则距波源r处的波的振幅rAA0一个周期内通过两个球面的能量分别为21WWTruATSIW21221111π421TruATSIW22222222π421介质不吸收能量说明四、波的吸收吸收媒质,实验表明Id0exII0IxxO(1)为介质吸收系数,与介质的性质及波的频率有关;说明(2)波的强度随传播距离按指数衰减。xIIddIxdxdI(1)知某一时刻波前,可用几何方法决定下一时刻波前;说明S22Stttur12.4惠更斯原理惠更斯原理(1)行进中的波面上任意一点都可看作是新的子波源;(3)各个子波所形成的包络面,就是原波面在一定时间内所传播到的新波面。(2)所有子波源各自向外发出许多子波;1StS1O(3)亦适用于电磁波,非均匀和各向异性媒质;(4)不足之处(未涉及振幅,相位等的分布规律)。(2)解释衍射、反射、折射现象;sinsinACiACADBC折射tutuADBC2121sinsinuui12.5波的干涉一、波的叠加原理1.波传播的独立性2.叠加原理当几列波相遇后再行分开时,各波的传播情况与未相遇一样,仍保持它们各自的频率、波长、振动方向等特性。在波相遇区域内,任一质点的振动,为各波单独存在时所引起的振动的合振动。v1v221yyy注意波的叠加原理仅适用于线性波的问题。二、相干波与相干条件干涉现象相干条件频率相同、振动方向相同、相位差恒定。两列(或多列)相干波叠加,将在空间形成一种稳定的强弱相间的强度(振幅)分布。三、干涉规律)cos(10101tAy)π2cos(1111rtAycos22122212AAAAA)cos(21tAyyyP点处合振动方程为1r2r1S2S)π2cos(2222rtAy合振动的振幅)cos(20202tAyPcos22121IIIIIP点处波的强度1212π2)(rrS1波源S2波源S1波在P点的振动方程S2波在P点的振动方程其中1.强度分布2πk2121max2IIIII若,强度有最大值•干涉相长π)12(k21212IIIII若•干涉相消,强度有最小值1r2r1S2SPcos22121IIIIIP点处波的强度1212π2)(rr若21II0minI1max4II=0=1=21=2S1S2波程差=r1r2=k干涉相长条纹干涉相消条纹2121()2π2πrrk2121()2π(21)πrrk若两波源初相相同1=2,条纹形状如何?波程差=r1r2=(k+1/2)双曲线2.条纹形状A、B为两相干波源,距离为30m,振幅相同,相同,初相差为,u=400m/s,f=100Hz。例A、B连线上因干涉而静止的各点位置。求解BAP30mr1r2任选一点P,A波在P的相位为11π2rtB波在P的相位为22π2rt两波在P的相位差为21212π2π()πrr2ππ3016π42ππ3014π4•P在A左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