初中数学竞赛讲座---代数式的化简与求值

代数式的化简与求值1．在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容．2．对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：(1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；(2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简；(3)换元、配方、待定系数法、倒数法等；(4)有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法．例题求解【例1】已知34x，求1582318262234xxxxxx的值．思路点拨由已知得(x－4)2=3，即x2－8x+13=0．所以原式=5．注本题使用了整体代换的作法．【例2】已知：x+y+x=3a(a≠0)，求：222)()()())(())(())((azayaxaxazazayayax的值．思路点拨由azyx3得：0)()()(azayax解设max，nay，paz，∴)(nmp∴原式=21（可将0pnm两边平方的得到）【例3】已知acbabcbaccba，求abcaccbba))()((的值．思路点拨设kacbabcbaccba∴akcbabkcbackcba，然后对0cba和0cba两种情况进行讨论，原式=8和1．【例4】已知1cba，2222cba，3333cba，求（1）abc的值：（2）444cba的值．思路点拨先由条件求出21acbcab，可得61abc，625444cba．注这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法，这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的．【例5】(2003年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b；乙商场：两次提价的百分率都是2ba（a0，b0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则提价最多的商场是()A．甲B．乙C．丙D．不能确定思路点拨乙商场两次提价后，价格最高．选B【例6】已知非零实数a、b、c满足1222cba，3)11()11()11(baccabcba，求cba的值．思路点拨原条件变形为：0))((acbcabcba∴cba为±1或0．【例7】(2001年重庆市)阅读下面材料：在计算3+5+7+9+11+13+15+17+19+21时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们还可以用公式dnnnaS2)1(计算它们的和．(公式中的n表示数的个数，a表示第一个数的值，d表示这个相差的定值．)那么3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=12022)110(10310．用上面的知识解决下列问题：为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为1995、1996、1997年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木．1995年1996年1997年每年植树的面积（亩）100014001800植树后坡荒地的实际面积(亩)252002400022400思路点拨1996年减少了25200－24000=1200，1997年减少了24000－22400=1600，…m年减少了1200+400×(m—1996)．1200+1600+…+1200+400(m—1996)=25200．令n=m—1995，得252004002)1(1200nnn，9n或14n（舍去）∴m=1995+n=2004．∴到2004年，可以将坡荒地全部种上树木．【例8】(“信利杯”)某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵{排数≥3)，且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有()A．1种B．2种C．4种D．0种思路点拨设最后一排有k个人，共有n排，那么从后往前各排的人数分别为k，k+1，k+2，…，k+(n—1)，由题意可知1002)1(nnkn，即n=200．因为k，n都是正整数，且n≥3，所以n2k+(n—1)，且n与2k+(n—1)的奇偶性不同．将200分解质因数，可知n=5或n=8．当n=5时，k=l8；当n=8时，k=9．共有两种不同方案．选B【例9】(江苏省竞赛初三)有两道算式：好+好=妙，妙×好好×真好=妙题题妙，其中每个汉字表示0~9中的一个数字，相同汉字表示相同数字，不同汉字表示不同数字．那么，“妙题题妙”所表示的四位数的所有因数的个数是．思路点拨从加法式得“好”5，“妙”≠0，因此“好”=1，“妙”=2或“好”=2，“妙”=4或“好”=3，“妙”=6或“好”=4，“妙”=8．显然，中间两种情形不满足乘法式，所以只能是：(1)“好”=1，“妙”=2，从而乘法式变为2×11×(真×10+1)=2002+题×110，即真×10+1=91+题×5．上式左边≤91，右边≥91，所以两边都等于91．由此得“真”=，“题”=0“妙题题妙”=2002．(2)“好”=4，“妙”=8，乘法式为8×44×(真×10十4)=8008+题×110．即704+1760×真=4004十题×55．在0~9中，只有“真”=2，“题”=4满足上式，但此时“好”与“题”表示相同的数字，与题意不符．故四位数“妙题题妙”有唯一解2002．由2002=2×7×11×13，知2002的所有因数的个数为24=16．【例9】设333199719961995zyx，，且3333199719961995219972199621995zyx．求zyx111的值．思路点拨设kzyx333199719961995，显然0k，于是31995xk，31996yk，31997zk，代入已知得3333333zkykxkzkykxk，即)111(111333zyxkzyxk，由0k，0xyz，可知0x，0y，0z，∴zyxzyx1111113，原式=1．学力训练(A级))1．当m在可取值范围内取不同的值时，代数式22427mm的最小值是()A．0B．5C．33D．92．已知：a、b都是负实数，且0111baba，那么ab的值为()A．251B．251C．251D．2513．如a、b、c是三个任意整数，那么2ba、2cb、2ac()A．都不是整数B．至少有两个整数C．至少有一个整数D．都是整数4．如果4321x，那么xxxx2211的值是()A．0B．1C．2D．45．已知：zyxa，xzyb，yxzc，且0zyx，试求111ccbbaa的值．6．已知521332412ccbaba，那么cba的值是多少？（B级）1．设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是()A．3B．31C．2D．352．已知m0，n0，且)5(3)(nmnnmm，求nmnmnmnm3238的值．3．已知322x2，试求xxxxS2211的值．4．已知322yx，322xy且x≠y，求yxxy的值．5．设a、b、c均不为0，且1998cba，19981111cba，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．6．已知a、b、c为整数，且满足cbabcba233222，求abccba)111(的值．A级1．B2．C3．C4．D5．16．20B级1．B．2．33．44．3225．提示：abcacbcabcba1，分解得0))()((accbba，于是ba，cb，ac中必有一个为0．6．42533代数式的化简与求值