上海市南汇中学年高二下学期期中考试数学试题

上海南汇中学第二学期期中考试高二数学满分：100分完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013yx的倾斜角是.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A且与直线10xy平行的直线l的方程为_.4、双曲线22149xy的虚轴长是_.5、已知直线220310xyxy和的夹角是_.6、直线1xy被圆221xy所截得的弦长等于_.7、已知方程221104xykk表示双曲线，则实数k的取值范围为_.8、过点(1,2)且与圆221xy相切的直线的方程是_.9、已知双曲线2214yx的两个焦点分别为1F、2F,P为双曲线上一点，且122FPF,则12FPF的面积是.10、设F为抛物线24yx的焦点，,,ABC为该抛物线上三点，若点(1,2)A，ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在直线方程为.11、若方程210xkx只有一个解，则实数k的取值范围是_.12、下列五个命题：①直线l的斜率[1,1]k，则直线l的倾斜角的范围是[,]44；②直线:1lykx与过(1,5)A，(4,2)B两点的直线相交，则4k或34k；③如果实数,xy满足方程22(2)3xy，那么yx的最大值为3；④直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是1m；⑤方程052422mymxyx表示圆的充要条件是41m或1m；正确的是___________.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320xym与直线2310xy的位置关系是…………………………（）（A）相交（B）平行（C）重合（D）由m决定14、若椭圆14222ayx与双曲线12222yax有相同的焦点，则实数a为…………（）（A）1（B）1（C）1（D）不确定15、已知抛物线xyC2:与直线1:kxyl，“0k”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16、已知曲线C：22||||1xxyyab，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点（B）直线ykxm（,kmR）与曲线C最多有三个交点（C）曲线C关于直线yx对称（D）若111(,)Pxy，222(,)Pxy为曲线C上任意两点，则有12120yyxx三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17、已知△ABC的三个顶点是(3,4)A、(0,3)B、(6,0)C，求（1）BC边所在直线的一般式方程；(4分)（2）BC边上的高AD所在直线的一般式方程.(4分)18、求经过(3,0)A,且与圆22(3)64xy内切的圆的圆心M的轨迹方程.(8分)19、已知双曲线1C：2214yx（1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线2C的标准方程；（5分）（2）直线l：yxm分别交双曲线1C的两条渐近线于A、B两点。当3OAOB时，求实数m的值.（5分）20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30处，10OP千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；（5分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆221:14xCy.（1）若椭圆222:1164xyC，判断2C与1C是否相似？如果相似，求出2C与1C的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）（2）写出与椭圆1C相似且短半轴长为b的椭圆bC的方程；若在椭圆bC上存在两点M、N关于直线1yx对称，求实数b的取值范围？（6分）（3）如图：直线yx与两个“相似椭圆”2222:1xyMab和22222:xyMab(0,ab01)分别交于点,AB和点,CD，试在椭圆M和椭圆M上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使CDF和ABE组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明）.（4分）OP上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学（答案）满分：100分完成时间：90分钟命题人：吴世星周华审核人：潘静红一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013yx的倾斜角6.2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为___2213236xy_________.3、经过点(1,0)A且与直线10xy平行的直线l的方程为10xy_.4、双曲线22149xy的虚轴长是9_.5、已知直线220310xyxy和的夹角是4_.6、直线1xy被圆221xy所截得的弦长等于2_.7、已知方程221104xykk表示双曲线，则实数k的取值范围为___410kk或.8、过点(1,2)且与圆221xy相切的直线的方程是3450xy或1x_.9、已知双曲线2214yx的两个焦点分别为1F、2F,P为双曲线上一点，且122FPF,则12FPF的面积是4.10、设F为抛物线24yx的焦点，,,ABC为该抛物线上三点，若点(1,2)A，ABC的重心与抛物线的焦点F重合，则BC边所在直线方程为210xy.11、若方程210xkx只有一个解，则实数k的取值范围是[1,1){2}.12、下列五个命题：①直线l的斜率[1,1]k，则直线l的倾斜角的范围是[,]44；②直线:1lykx与过(1,5)A，(4,2)B两点的直线相交，则4k或34k；③如果实数,xy满足方程22(2)3xy，那么yx的最大值为3；④直线1ykx与椭圆2215xym恒有公共点，则m的取值范围是1m；⑤方程052422mymxyx表示圆的充要条件是41m或1m；正确的是_____②_③_⑤____.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320xym与直线2310xy的位置关系是…………………………（A）（A）相交（B）平行（C）重合（D）由m决定14、若椭圆14222ayx与双曲线12222yax有相同的焦点，则实数a为…………（C）（A）1（B）1（C）1（D）不确定15、已知抛物线xyC2:与直线1:kxyl，“0k”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（B）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件16、已知曲线C：22||||1xxyyab，下列叙述中错误．．的是………………………………（C）（A）垂直于x轴的直线与曲线C只有一个交点（B）直线ykxm（,kmR）与曲线C最多有三个交点（C）曲线C关于直线yx对称（D）若111(,)Pxy，222(,)Pxy为曲线C上任意两点，则有12120yyxx三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）17、已知△ABC的三个顶点是(3,4)A、(0,3)B、(6,0)C，求（1）BC边所在直线的一般式方程；(4分)（2）BC边上的高AD所在直线的一般式方程.(4分)解；（1）(6,3)BC是BC边所在直线的方向向量故3:63BCxyl，即:260BClxy…………………………4分（2）(6,3)BC高AD所在直线的法向量故:6(3)3(4)0ADlxy，即:220ADlxy…………………………8分18、求经过(3,0)A,且与圆22:(3)64Cxy内切的圆的圆心M的轨迹方程.(8分)解：根据题意得，8MAMCAC,……………………………………2分由椭圆定义得4,3ac，所以27b…………………………………………4分所以所求的圆心M的轨迹方程为221167xy……………………………………8分19、已知双曲线1C：2214yx（1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点(4,3)P的双曲线2C的标准方程；（5分）（2）直线l：yxm分别交双曲线1C的两条渐近线于A、B两点。当3OAOB时，求实数m的值.（5分）解：（1）双曲线1C的焦点坐标是(5,0),(5,0)，………………………………………1分设双曲线2C的标准方程为22221xyab，则222211631abab解得2241ab…………………3分所以双曲线2C的标准方程为2214xy……………………………………………5分（2）双曲线1C的两条渐近线方程为2,2yxyx……………………………………6分由2yxyxm得(,2)Amm由2yxyxm得2(,)33mmB………………8分2224333mmOAOBm，得3m……………………10分20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C上的点O到l的距离最近，且为0.4千米，城镇P位于点O的北偏东30处，10OP千米，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路,l以便建立水陆交通网．（1）建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；（5分）（2）为了降低修路成本，必须使修建的两条公路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（精确到0.001千米）.（7分）解：（1）如图所示，建立平面直角坐标系……1分由题意得，0.42p……3分所以，抛物线2:1.6Cyx……5分（2）设抛物线C的焦点为F由题意得，5,53P……7分根据抛物线的定义知，公路总长9.806QFQPPF……10分当Q为线段PF与抛物线C的交点（如图）时，公路总长最小，…………11分最小值为9.806千米……12分21、定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆221:14xCy.（1）若椭圆222:1164xyC，判断2C与1C是否相似？如果相似，求出2C与1C的相似比；如果不相似，请说明理由；（4分）（2）写出与椭圆1C相似且短半轴长为b的椭圆bC的方程；若在椭圆bC上存在两点M、N关于直线1yx对称，求实数b的取值范围？（6分）（3）如图：直线yx与两个“相似椭圆”2222:1xyMab和22222:xyMab(0,ab01)分别交于点,AB和点,CD，试在椭圆M和椭圆M上分别作出点E和点F（非椭圆顶点），使CDF和ABE组成以为相似比的两个相似三OP角形，写出具体作法。（不必证明）.（4分）（1）椭圆2C与1C相似。-------------------2分因为椭圆2C的特征三角形是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆1C的特征三角形是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，因