初中数学竞赛讲座----分式方程组

分式方程（组）本讲我们将介绍分式方程(组)的解法及其应用．【知识拓展】分母里含有未知数的方程叫做分式方程．解分式方程组的基本思想是：化为整式方程．通常有两种做法：一是去分母；二是换元．解分式方程一定要验根．解分式方程组时整体代换的思想体现得很充分．常见的思路有：取倒数法方程迭加法，换元法等．列分式方程解应用题，关键是找到相等关系列出方程．如果方程中含有字母表示的已知数，需根据题竞变换条件，实现转化．设未知数而不求解是常见的技巧之一．例题求解一、分式方程(组)的解法举例1．拆项重组解分式方程【例1】解方程64534275xxxxxxxx．解析直接去分母太繁琐，左右两边分别通分仍有很复杂的分子．考虑将每一项分拆：如72175xxx，这样可降低计算难度．经检验211x为原方程的解．注本题中用到两个技巧：一是将分式拆成整式加另一个分式；二是交换了项，避免通分后分子出现x．这样大大降低了运算量．本讲趣题引路中的问题也属于这种思路．2．用换元法解分式方程【例2】解方程081318218111222xxxxxx．解析若考虑去分母，运算量过大；分拆也不行，但各分母都是二次三项式，试一试换元法．解令x2+2x—8=y，原方程可化为0151191xyyxy解这个关于y的分式方程得y=9x或y=－5x．故当y=9x时，x2+2x—8=9x，解得x1=8，x2=—1．当y=－5x时，x2+2x—8=－5x，解得x3=—8，x4=1．经检验，上述四解均为原方程的解．注当分式方程的结构较复杂且有相同或相近部分时，可通过换元将之简化．3．形如aaxx11结构的分式方程的解法形如aaxx11的分式方程的解是：ax1，ax12．【例3】解方程310511522xxxx．解析方程左边两项的乘积为1，可考虑化为上述类型的问题求解．11x，22x均为原方程的解．4．运用整体代换解分式方程组【例4】解方程组xxxzyyyxx222222414414414．解析若用常规思路设法消元，难度极大．注意到每一方程左边分子均为单项式，为什么不试一试倒过来考虑呢?解显然x=y=z=0是该方程组的一组解．若x、y、z均不为0，取倒数相加得x=y=z=21故原方程组的解为x=y=z=0和x=y=z=21．二、含字母系数分式方程根的讨论【例5】解关于x的方程242241)1(2212122xaxxaxxa．解析去分母化简为含字母系数的一次方程，须分类讨论．讨论：（1）当a2－1≠0时①当a≠0时，原方程解为x=212a；②当a=0时，此时21x是增根．(2)当a2－1＝0时即a=1，此时方程的解为x≠21的任意数；综上，当a≠±1且a≠0时，原方程解为x=212a；当a=0时，原方程无解，；当a=1时，原方程的解为x≠21的任意数．三、列分式方程解应用题【例6】某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼(扶梯行驶，两人也走梯)．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．（1）扶梯露在外面的部分有多少级?(2)现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两个孩子各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼(不考虑扶梯与楼梯间的距离)．求男孩第一次迫上女孩时走了多少级台阶?解析题中有两个等量关系，男孩走27级的时间等于扶梯走了S－27级的时间；女孩走18级的时间等于扶梯走S—18级的时间．解(1)设女孩上梯速度为x级／分，自动扶梯的速度为y级／分，扶梯露在外面的部分有S级，则男孩上梯的速度为2x级／分，且有ySxySx181827227解得S=54．所以扶梯露在外面的部分有54级．(2)设男孩第一次追上女孩时走过自动扶梯rn遍，走过楼梯n遍，则女孩走过自动扶梯(m—1)遍、走过楼梯(n—1)遍．由于两人所走的时间相等，所以有xnxymxnxym)1(54)1(54254254．由(1)中可求得y=2x,代人上面方程化简得6n+m=16．无论男孩第一次追上女孩是在自动扶梯还是在下楼时，m、n中都一定有一个是正整数，且0≤m—n≤1．试验知只有m=3，n=612符合要求．所以男孩第一次追上女孩时走的级数为3×27+612×54=198(级)．注本题求解时设的未知数x、y，只设不求，这种方法在解复杂的应用题时常用来帮助分析数量关系，便于解题．【例7】(江苏省初中数学竞赛C卷)编号为1到25的25个弹珠被分放在两个篮子A和B中．15号弹珠在篮子A中，把这个弹珠从篮子A移至篮子B中，这时篮子A中的弹珠号码数的平均数等于原平均数加41，篮子B中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加41．问原来在篮子A中有多少个弹珠?解析本题涉及A中原有弹珠，A、B中号码数的平均数，故引入三个未知数．解设原来篮子A中有弹珠x个，则篮子B中有弹珠(25－x)个．又记原来A中弹珠号码数的平均数为a，B中弹珠号码数的平均数为b．则由题意得412615)25(411153252521)25(bxxbaxaxbxax，解得x=9，即原来篮子A中有9个弹珠．学力训练（A级）1．解分式方程16143132121xxxx．2．若关于x的方程1151222xkxxkxx有增根x=1，求k的值．3．解分式方程52)10)(9(1)2)(1(1101xxxxx．4．解方程组1042113312111yxxyxx．5．丙、丁三管齐开，15分钟可注满全池；甲、丁两管齐开，20分钟注满全池．如果四管齐开，需要多少时间可以注满全池？（B级）1．关于x的方程cdaxxb有唯一的解，字母已知数应具备的条件是()A．a≠bB．c≠dC．c+d≠0D．bc+ad≠02．某队伍长6km，以每小时5km的速度行进，通信员骑马从队头到队尾送信，到队尾后退返回队头，共用了0.5h，则通信员骑马的速度为每小时km．3．某项工作，甲单独作完成的天数为乙、丙合作完成天数的m倍，乙单独作完成的天数为甲、丙合作完成天数的n倍，丙单独作完成的天数为甲、乙合作完成天数的k倍，则111kknnmm=．4．m为何值时，关于x、y的方程组：241)1(yxmmyxm的解，满足1511x，32y？5．(天津市中考题)某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共5500元．(1)求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天?(2)若工期要求不超过15天完成全部工程，问：由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．6．甲、乙二人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买的单价不同)，甲每次购买粮食100kg，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x元／kg，第二次单价为y元／kg．(1)用含x、y的代数式表示甲两次购买粮食共需付款元，乙两次共购买kg粮食．若甲两次购买粮食的平均单价为每千克Ql元，乙两次购粮的平均单价为每千克Q2元则Q1=；Q2=．(2)若规定谁两次购粮的平均单价低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两人的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．34分式方程（组）分式方程（组）