初中数学竞赛专项训练(3)及答案

初中数学竞赛专项训练（3）（方程）一、选择题：1、方程018)8(2axax有两个整数根，试求整数a的值（）A.-8B.8C.7D.92、方程1)1(32xxx的所有整数解的个数是（）A.2B.3C.4D.53、若0x是一元二次方程)0(02acbxax的根，则判别式acb42与平方式20)2(baxM的大小关系是（）A.△＞MB.△=MC.△＜MD.不能确定4、已知acb42是一元二次方程)0(02acbxax的一个实数根，则ab的取值范围为（）A.ab≥81B.ab≤81C.ab≥41D.ab≤415、已知1x、2x是方程0)53()2(22kkxkx的两个实根，则2221xx的最大值是（）A.19B.18C.955D.以上答案都不对6、已知zyx、、为三个非负实数，且满足132523zyxzyx，　，zyxu73若，则u的最大值与最小值之和为（）A.7762B.7764C.7768D.77747、若m、n都是正实数，方程022nmxx和方程022mnxx都有实数根，则m+n的最小值是（）A.4B.6C.8D.108、气象爱好者孔宗明同学在x（x为正整数）天中观察到：①有7个是雨天；②有5个下午是晴天；③有6个上午是晴天；④当下午下雨时上午是晴天。则x等于（）A.7B.8C.9D.10二、填空题1、已知两个方程0022abxxbaxx与有且只有一个公共根，则这两个方程的根应是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2、若)(016110161122babbaa，　，则baab＿＿＿＿＿＿＿3、已知关于x的方程012)1(2nxnx的两根为整数，则整数n是＿＿＿＿＿4、设1x、2x是方程02)1(222kxkx的两个实数根，且8)1)(1(21xx，则k的值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5、已知a、b是方程042mxx的两个根，b、c是方程0582mxx的两个根，则m＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿6、设1x、2x是关于x的一元二次方程22aaxx的两个实数根，则)2)(2(1221xxxx的最大值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题1、关于x的方程01)1(2xkkx有有理根，求整数k的值。2、设方程0120012003200222xx的较大根是r，方程01200220012xx的较小根是s，求r－s的值。3、确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程07635108222nnxnxx的两根均为质数，并求出此两根。4、已知关于x的一元二次方程054)15117()9)(6(2xkxkk的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值。5、有编号为①、②、③、④的四条赛艇，其速度依次为每小时1v、2v、3v、4v千米，且满足1v＞2v＞3v＞4v＞0，其中，水v为河流的水流速度（千米/小时），它们在河流中进行追逐赛规则如下：（1）四条艇在同一起跑线上，同时出发，①、②、③是逆流而上，④号艇顺流而下。（2）经过1小时，①、②、③同时掉头，追赶④号艇，谁先追上④号艇谁为冠军，问冠军为几号艇？专项训练（3）参考答案一、选择题1、选B。原方程变为1811811)8)((xaxxaxxax或，，解得x=9或7，a＝8。2、选C。原方程有整数解的条件有且只有以下3种：仅有一个整数解。为偶数。故原方程此时时。显然仅当或得为偶数。解而③解；，即原方程有两个整数或，解之得②是方程的一个整数解；，此时而①23110113111211301032222xxxxxxxxxxxxxxxx综上所述知方程的解共有1＋2＋1＝4个。。　　应选。即的根，所以是　　　　　因　　　　　　　　　　　　、解：令B,00)(4444)4()(2ax-md320020220202220Mdcbxaxxcbxaxaacbbbaxxaacbb4、应选B。因为方程有实数解，故042acb。由题意有。，即的判别式非负，即是其解，所以方程，因为或则得。令或者8108140202442442422222222ababacbubuaubuauacbuacbaacbbacbaacbb5、选B。由方程有实根，得△≥0，即184)5(19610)53(2)2(2)(5323440)4)(43(0161630)53(4)2(2221222221221222122121222取最大值时，当，得，。又由xxkkkkkkkxxxxxxkkxxkxxkkkkkkkk6、选A。237)711()37(371137132523zzzzuzyzxzyxzyx由x≥0，y≥0得21173232733117730711037zzzz即11175u7762)111(7511175最大最小最大最小　　，uuuu7、选B。因方程有实根，故0440822mnnm，因此有mnm646424，则46400)64(33mmmmm，，则，因，得m最小值是4。又。的最小值为，故的最小值为即，得622824nmnnnmn8、选C。设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于x＝a+b+c+d=9。二、填空题axabxbaxbaxbaabxxbaxxxxxx3211121121312110110)1)((001，。解方程得＝　　　。代入任一方程可得，故，而　　两式相减得，，。、和、为、设两个方程的根分别2、由已知a、b是方程016112xx的两根。001611baabba，　　，而574164121414)(41)(412abbabaabbabaab3、012)1(2nxnx的两根为整数，它的判别式为完全平方式，故可设22)12(4)1(knn（k为非负整数），即4)3(22kn满足上式的n、k只能是下列情况之一：2323232343131343knknknknknknknkn或或或解得n＝1、5。4、解：由题意得：　　①，得210)2(4])1(2[222kkk又2)1(222121kxxkxx，521)1(221)()1)(1(22212121kkkkxxxxxx　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以由已知得　　②，，解得138522kkkk由①②得k＝1。5、解：由已知b2-4b+m=0①b2-8b+5m=0②①－②得：4b-4m=0∴b＝m③将③代入①得：m2-4m+m=0∴m=0或m=3。6、解：04)2(84)2(4222aaaaa∴对于任意实数a，原方程总有两个实数根。由根与系数的关系得：863)49(218929)(2)2)(2(2222122112212121aaaxxxxxxxxaxxaxx　　∴当a=49时原式有最大值－863三、解答题1、解：①当k=0时，x=-1，方程有有理根。②当k≠0时，因方程有有理根，所以若k是整数，则kk4)1(2＝162kk必为完全平方数，即存在非负整数m，使2216mkk配方得：8)3)(3(8)3(22mkmkmk　　　由，其积为是奇偶性相同的整数，与833mkmk所以它们均为偶数，又mkmk－－＞＋－33，从而有43232343mkmkmkmk或∴k=6或k=0（舍去）综合①②可知，方程01)1(2xkkx有有理根，整数k的值为k=0或k=6。2、解：由前一方程得：0200212002120022222xx即020021)200211(222xx设方程两根为1x、2x，且1x＞2x由根与系数的关系得：22122120021200211xxxx　　　则1x＝1，2x＝-220021同理由后一方程得：020011)200111(2xx设方程两根为'1x、'2x，且'1x＞'2x，则'1x＝1，'2x＝20011由上述可知：r=1，s＝20011，所以r－s＝1－20011＝200120003、解：设方程两根为1x、2x，则1x+2x＝4n－5∵4n－5是奇数，即1x+2x是奇数∴1x与2x必定一奇一偶，而1x与2x都是质数。故必有一个为2，不妨设1x＝2，则2×22－（8n－10）×2－(n2－35n＋76)＝0∴n=3或n=16当n=3时，原方程即2x2－14x＋20＝0，此时两根为x1＝2，x2＝5当n=16时，原方程即2x2－118x＋228＝0，此时两根为x1＝2，x2＝574、解：原方程可化为0]6)9][(9)6[(xkxk，因此方程关于x的一元二次方程，所以6k，9k，于是kx691＝，kx962从上面两式中消去k，得：0322121xxxx于是6)2)(3(21xx因为1x、2x均为整数，所以12366321263211236321，　，　，　，　，　，　，　，　，　，　，　，　，　，　xx故301245691，　，　，　，　，　，　，　x，显然1x≠0又1119696xxxk，将31245691，　，　，　，　，　，　x分别代入上式得。，　，　，　，　，　，　3152214335392157k5、解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为441)][(vvvvvvSiii水　水　（）各艇追上④号艇的时间为44444421)()(vvvvvvvvvvvvvtiiiiii水　水　对1v＞2v＞3v＞4v有321ttt，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。