上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(一)试题

华东师大二附中2015届暑期练习（一）数学试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．函数2xxxf的定义域为.2．如果22sin3，为第三象限角，则3sin()2．3．设等差数列na的前n项之和nS满足10520SS，那么8a．4．设复数iz511，imz32，inzz821),(Rnm，则21zz__________.5．正方体ABCD1111DCBA中，QPNM,,,分别是棱BCADDCCB,,,111111的中点，则异面直线MN与PQ所成的角等于__________.6．在△ABC中，CBA、、的对边分别是cba,,，且Bbcos是AcCacos,cos的等差中项，则角B=.7．若①9ba,②9ba,则同时满足①②的正整数ba,有组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．已知圆的方程是1)1(22yx，若以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为．10．已知数列}{na中,11a,)1*,(271nnaannnN，则当na取得最小值时n的值是．11．设正四面体ABCD的棱长为a，P是棱AB上的任意一点，且P到面BCDACD,的距离分别为21,dd，则21dd___.12．定义在R上的函数)(xf同时满足性质：①对任何Rx，均有33)]([)(xfxf成立；②对任何Rxx21,，当且仅当21xx时，有)()(21xfxf.则)1()0()1(fff的值为.13．对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式:22132313524135732353379113413151719根据上述分解规律,则2513579,若3*()mmN的分解中最小的数是73,则m的值为.14．定义：对于各项均为整数的数列na，如果iai(i=1，2，3，…)为完全平方数，则称数列na具有“P性质”；不论数列na是否具有“P性质”，如果存在数列nb与na不是同一数列，且nb满足下面两个条件：（1）123,,,...,nbbbb是123,,,...,naaaa的一个排列；（2）数列nb具有“P性质”，则称数列na具有“变换P性质”．给出下面三个数列：①数列na的前n项和2(1)3nnSn；②数列}{nb：1，2，3，4，5；③数列}{nc：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.具有“P性质”的为；具有“变换P性质”的为.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．非零向量ba,，ma||，nb||，若向量bac21，则||c的最大值为（）A．nm21B．nm||||21C．||21nmD．以上均不对16．已知数列}{na的通项公式为*1()(1)nanNnn,其前n项和910nS,则双曲线2211xynn的渐近线方程为（）A．223yxB．324yxC．31010yxD．103yx17．已知ABC△中，22AC,2BC，则角A的取值范围是（）A．,63.B．0,6.C．0,4D．,4218．在平面斜坐标系xoy中045xoy,点P的斜坐标定义为:“若2010eyexOP(其中21,ee分别为与斜坐标系的x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为),(00yx”.若),0,1(),0,1(21FF且动点),(yxM满足12MFMF,则点M在斜坐标系中的轨迹方程为（）A．20xyB．20xyC．20xyD．20xy三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin2cosfxmxx0m的最大值为2．（1）求函数()fx在0π，上的值域；（2）已知ABC外接圆半径3R，ππ()()46sinsin44fAfBAB，角A，B所对的边分别是a，b，求ba11的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1a，函数)(xf的图像与函数2|2|24xxaay的图像关于点)2,1(A对称．（1）求函数)(xf的解析式；（2）若关于x的方程mxf)(有两个不同的正数解，求实数m的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA，OB是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD和曲线段EF分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA，OB平行的栈桥MG、MK，且以MG、MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD的方程是220(020)xyx，曲线段EF的方程是200(540)xyx，设点M的坐标为(,)st，记zst.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求z的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK面积MGKS关于z的函数解析式，并求出该面积的最小值图1DBFECAOMGKDBFECAOxy图222．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点3(3,)2，椭圆C左右焦点分别为21,FF，上顶点为E，21FEF为等边三角形.定义椭圆C上的点00(,)Mxy的“伴随点”为00(,)xyNab.（1）求椭圆C的方程；（2）求MONtan的最大值；（3）直线l交椭圆C于A、B两点,若点A、B的“伴随点”分别是P、Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O.椭圆C的右顶点为D，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）已知数列{}na，{}nb满足：1*nnnbaanN．（1）若11,nabn，求数列{}na的通项公式；（2）若112nnnbbbn，且121,2bb．①记611nncan，求证：数列nc为等差数列；②若数列nan中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a应满足的条件．数学试卷参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[；2．13；3．4；4．i1812；5．060；6．3；7．25；8．8；9．2sin；10．6或7；11．a36；12．0；13．9；14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．B；16．C；17．C；18．D．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()fx的最大值为22m，所以22=2m．………………………2分而0m，于是2m，π()2sin()4fxx．…………………………………4分()fx在]4,0[上递增．在ππ4，递减，所以函数()fx在0π，上的值域为]2,2[；…………………………………5分（2）化简ππ()()46sinsin44fAfBAB得sinsin26sinsinABAB．……………………………………………………7分由正弦定理，得226Rabab，……………………………………………9分因为△ABC的外接圆半径为3R．2abab．…………………………11分所以211ba…………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(yxP是函数)(xf图像上任意一点，P关于点A对称的点为),(yxP，则12xx，22yy，于是xx2，yy4，………………2分因为),(yxP在函数)(xg的图像上，所以2|2|24xxaay，…4分即xxaay244||，xxaay2||，所以xxaaxf2)(||．……………………………………………………6分（2）令tax，因为1a，0x，所以1t，所以方程mxf)(可化为mtt2，…………………………………………8分即关于t的方程022mtt有大于1的相异两实数解．作2)(2mttth，则08120)1(2mmh，………………………………………12分解得322m；所以m的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)Mst在线段CD：220(020)xyx上，即220st，又因为过点M要分别修建与OA、OB平行的栈桥MG、MK，所以510s；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022zstssss；………………………4分所以z的取值范围是75502z..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)KsGtst，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGKSMGMKststtsst则14000075(400),,5022MGKSzzz，..……………………………10分因为函数140000(400)2MGKSzz在75,502z单调递减，..………12分所以当50z时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米...………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412ababcca，解得224,3ab,方程为22143xy.·······················4分（2）当000yx时，显然0tanMON，由椭圆对称性，只研究0,000yx即可，设kxykOM00（0k），于是32kkON···························································5分32232233232132tan2kkkkkMON（当且仅当232k时取等号）··············································································8分（3）设1122(,),(,)AxyBxy,则1122,,,2233xyxyPQ;1)当直线l的斜率存在时,设方程为ykxm,由22143ykxmxy得:222(34)84(3)0kxkmxm；有22122212248(34)08344(3)34kmkmxxkmxxk①····································