上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(五)试题

华东师大二附中2015届暑期练习（五）数学试卷一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．2135(21)lim331nnnn．2．关于方程211323xx的解为．3．已知全集UR，集合1|,01Pyyxx，则UPð=．4．设xR，向量(,1)ax，(1,2)b，且ab，则||ab．5．在ABC△中，若60A，45B，32BC，则AC．6．在极坐标系中，21(02)与=2的交点的极坐标为．7．用一平面去截球所得截面的面积为3cm2，已知球心到该截面的距离为1cm，则该球的体积是cm3.8．复数izab(abR、，且0b)，若24zbz是实数，则有序实数对()ab，可以是．（写出一个有序实数对即可）10．设摩天轮逆时针方向匀速旋转，24分钟旋转一周，轮上观光箱所在圆的方程为221xy．已知时间0t时，观光箱A的坐标为13(,)22，则当024t时（单位：分），动点A的纵坐标y关于t的函数的单调递减区间是．12．计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为4253、，在操作考试中“合格”的概率依次为1526、，所有考试是否合格，相互之间没有影响．则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率．13．已知数列na，对任意的*kN，当3nk时，3nnaa；当3nk时，nan，那么该数列中的第10个2是该数列的第项．14．对于函数sin,0,2()1(2),(2,)2xxfxfxx，有下列4个命题：①任取120,xx、，都有12()()2fxfx恒成立；第7题图BACED第19题图②()2(2)fxkfxk*()kN，对于一切0,x恒成立；③函数()ln(1)yfxx有3个零点；④对任意0x，不等式()kfxx恒成立，则实数k的取值范围是9,8．则其中所有真命题的序号是．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．下列命题中，错误．．的是（）．（A）过平面外一点可以作无数条直线与平面平行（B）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C）若直线l垂直平面内的两条相交直线，则直线l必垂直平面（D）垂直于同一个平面的两条直线平行17．若曲线(,)0fxy上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（）．（A）210xy（B）2410xy（C）2210xyxx（D）2310xxy18．已知等差数列na的前n项和为nS，向量,nSOPnn，1,mSOPmm，2,kSOPkk*nmkN、、，且12OPOPOP，则用nmk、、表示（）．（A）kmkn（B）knkm（C）nmkm（D）nmnk三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分5分．如图，在体积为3的正三棱锥BCDA中，BD长为23，E为棱BC的中点，求（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）正三棱锥BCDA的表面积．东北ABCO第21题图···Z21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分8分，第(2)小题满分6分．为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O出发，沿北偏东角的射线OZ方向航行，而在港口北偏东角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A，30013OA海里，且cos,31tan132.现指挥部需要紧急征调位于港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装上补给物资供给科考船．该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给方案最优.（1）求S关于m的函数关系式()Sm；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)、(3)小题满分各6分．设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点O，1、2的焦点均在x轴上，过2的焦点F作直线l，与2交于A、B两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1，2的标准方程；（2）若l与1交于C、D两点，0F为1的左焦点，xyABCDF0OF第22题图x3243y230432求00FABFCDSS△△的最小值；（3）点PQ、是1上的两点，且OPOQ，求证：2211OPOQ为定值；反之，当2211OPOQ为此定值时，OPOQ是否成立？请说明理由.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．已知曲线C的方程为24yx，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为1P，过1P作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为2P，过2P作斜率为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为3P，……，如此下去，一般地，过点nP作斜率为2n的直线与曲线C相交，另一个交点记为1nP，设点),(nnnyxP（*nN）．（1）指出1y，并求1ny与ny的关系式（*nN）；（2）求21ny（*nN）的通项公式，并指出点列1P，3P，…，12nP，…向哪一点无限接近？说明理由；（3）令2121nnnayy，数列na的前n项和为nS，设1314nnbS，求所有可能的乘积(1)ijbbijn的和．BACED第19题图OF参考答案与评分标准一.填空题1．13；2．2；3．,1；4．10；5．23；6．(1,)2；7．323；8．2,1或满足2ab的任意一对非零实数对；9．8,05；10．[2,14]；11．4；12．2345；13．39366（923）14．①③．二.选择题15．B；16．A；17．C；18．C三.解答题19.解：（1）过点A作AO平面BCD，垂足为O，则O为BCD△的中心，由21323=334AO得1AO（理1分文2分）又在正三角形BCD中得=1OE，所以2AE……………………………（理2分文4分）取BD中点F，连结AF、EF，故EF∥CD，所以AEF就是异面直线AE与CD所成的角．（理4分文6分）在△AEF中，2AEAF，3EF，…………………（理5分文8分）所以2226cos24AEEFAFAEFAEEF．…………………（理6分文10分）所以，异面直线AE与CD所成的角的大小为6arccos4．……（理7分文12分）（2）由2AE可得正三棱锥BCDA的侧面积为1332323622SBCAE…………………（理10分）所以正三棱锥BCDA的表面积为233636334SBC．…………………………（理12分）20.解：（1）由已知，34cos,sin.55………（2分）24sin22sincos,25227cos2cossin.25………（4分）1sin21cos2=24149257181()25.………………………………………………（6分）（2）1,3OCOBCOB由单位圆可知:，……………………（8分）222+-2cosBCOCOBOCOBCOB由余弦定理得：112cos22cos33………………………（10分）东北ABCO第21题图···yxZ02，，5336，，31cos,322……（12分）2621,23,1,.2BCBC……………………（14分）21.（1）以O点为原点，正北的方向为y轴正方向建立直角坐标系，…（1分）则直线OZ的方程为3yx，设点A（x0，y0），则030013sin900x，030013cos600y，即A（900，600），…………………（3分）又B（m，0），则直线AB的方程为：600()900yxmm，…………（4分）由此得到C点坐标为：200600(,)700700mmmm，…（6分）21300()||||(700)2700CmSmOBymm…（8分）（2）由（1）知22300300()7001700mSmmmm…（10分）223003007001111700()14002800mmm………（12分）所以当111400m，即1400m时，()Sm最小，（或令700tm，则222300300(700)700()300(1400)700mtSmtmtt840000，当且仅当1400m时，()Sm最小）∴征调1400m海里处的船只时，补给方案最优.…………………（14分）22．解：（1）3-2,03-2，，在椭圆上，3-234-4，，，在抛物线上，2211,43xy：2：24.yx…………………（4分）（2）(理)0Fl设到直线的距离为d,00FABFCDSS△△=1212dABABCDdCD.F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，①当直线l的斜率存在时，设l：(1)ykx,1122A(x,(x,yBy设），），3344(x,(x,yyC），D）联立方程24(1)yxykx，得2222(24)0kxkxk，0k时0恒成立.22222214241161611kkABkxxkkk（也可用焦半径公式得：2122412kABxxk）………………（5分）联立方程22143(1)xyykx，得2222(3+4)84120kxkxk，0恒成立.222223422212114414411(34)34kkCDkxxkkk,……（6分）00FABFCDSS△△=2222222413414433312134kkkkkkk.………………（8分）②当直线l的斜率不存在时，l：1x，此时，4AB，3CD，00FABFCDSS△△=43.……………………………（9分）所以，00FABFCDSS△△的最小值为43.……………………………（10分）（文）F(1,0)是抛物线的焦点，①当直线l的斜率存在时，设l：(1)ykx,1122A(x,(x,yBy设），），联立方程24(1)yxykx，得2222(24)0kxkxk，0k时0恒成立212224kxxk，121xx，………………（6分）因2准线为1x，设(1,)Mm，02mk，1111ymkx，2221ymkx21212121221212122()224411144kxkmkxkmkxxmxxkmmkmkkmxxxxxxk0k与12kk的关系是1202kkk..……………………………（8分）②