上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(四)试题

华东师大二附中2015届暑期练习（四）数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、是第二象限角，则2是第象限角．2、复数z满足1zzi，则此复数z所对应的点的轨迹方程是.3、已知全集UR，集合2230,AxxxxR,22Bxmxm,若03UCABxx，则实数m的值为.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为.已知1tan63，则2cos23的值为.定义在R上的奇函数fx，12f，且当0x时，22xfxaxb（,ab为常数），则10f的值为.7、公差不为零的等差数列}{na中，237110aaa，数列}{nb是等比数列，且77ab，则1213bbb等于.已知等差数列na的通项公式为35nan，则5671)1)1)xxx（（（的展开式中4x项的系数是数列na中的第项．9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O，极轴与x轴的非负半轴重合.若直线l的极坐标方程为3)R（，曲线C的参数方程为2cos1cos2xy(为参数，且)R，则直线l与曲线C的交点的直角坐标为.10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种.NMDCBAPOyx11、棱长为1的正方体1111ABCDABCD及其内部一动点P，集合1QPPA,则集合Q构成的几何体表面积为.12、P是双曲线221916xy－＝的右支上一点，M、N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则PMPN的最大值等于.13、设,xy为实数，且满足：32014201320142013xx，32014201320142013yy，则xy.14、在区间0,上，关于的方程5sin45cos2解的个数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知为实数，若复数sin212cos1zi是纯虚数，则z的虚部为（）A、2B、0C、2D、2i16、“1a”是“函数()||fxxab（,abR）在区间1,上为增函数”的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件如果函数()fx在[,]ab上的最大值和最小值分别为M、m，那么()()()bambafxMba.根据这一结论求出2212x的取值范围（）.A、[0,3]B、3[,3]16C、33[,]162D、3[,3]218、如图，已知点(2,0)P，正方形ABCD内接于⊙22:2Oxy，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PMON的取值范围是（）A、[1,1]B、[2,2]C、[2,2]D、22[,]22解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCDABCD,底面ABCD直角梯形，AB∥CD，90BAD，P是棱CD上一点，2AB，2AD，13AA，3CP，1PD.（1）求异面直线1AP与1BC所成的角；求证：PB平面11BCCB.20、（本题满分14分）已知数列na和nb满足：112,4,13213nnnnnaaanban，其中为实数，n为正整数.（1）对任意实数，求证：123,,aaa不成等比数列；（2）试判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图，C、D是两个小区所在地，C、D到一条公路AB的垂直距离分别为1CAkm，2DBkm，AB两端之间的距离为6km.（1）某移动公司将在AB之间找一点P，在P处建造一个信号塔，使得P对A、C的张PDCBAD1C1B1A1角与P对B、D的张角相等，试确定点P的位置.（2）环保部门将在AB之间找一点Q，在Q处建造一个垃圾处理厂，使得Q对C、D所张角最大，试确定点Q的位置.ABCDQPDCBA22、（本题满分16分）阅读：已知a、0,b，1ab，求12yab的最小值.解法如下：121223322bayabababab，当且仅当2baab，即21,22ab时取到等号，则12yab的最小值为322.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知,,0,abc，1abc，求111yabc的最小值；（2）已知10,2x，求函数1812yxx的最小值；（3）已知正数1a、2a、3,,naa，1231naaaa，求证：2222312122334112nnaaaaSaaaaaaaa.23、（本题满分18分）已知函数2()5bfxaxx(常数,abR）满足(1)(1)14ff.（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数()fx奇偶性；（2）若()fx在区间30.5（，）上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：()fx恰有一个零点q且存在递增的正整数数列na，使得31225naaaaqqqq成立.虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科第二次月考试卷（答案）2014.051、一或三;2、0xy．3、2m4、123::3:1:2VVV.5546、993)10()10(ff.7、13131213728192bbbb.8、209、0,0)（；设取红球x个，白球y个，则5(04)27(06)xyxxyy234,,321xxxyyy，取法为233241464646186CCCCCC.11、221151341484S.12、9.13、4028xy.14、1个解.15、sin21sin210422cos10cos2,2244kkk则524kkZ，2cos12，选C.16、1a时，()|1|fxxb在1,上为增函数；反之，()||fxxab在区间1,上为增函数，则1a，故选A.17、求22x在2,1上的最值，选B.18、OMON且长度为1，可设)sin,cos(M，)cos,sin(N，然后用坐标求解.也可以OPOMPM，答案选C.19、解：（1）以D原点，DA、DC、1DD分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则1(2,0,3)A，(0,1,0)P，(2,20B，），1(0,4,3)C.于是1(2,1,3)PA,1(2,2,3)BC,111155cos61215PABCPABC,异面直线1AP与1BC所成的角的大小等于5arccos6.过B作BMCD交CD于M，在RtBMC中，2BM，2MC，则6BC，2213332PC，216315BC，213PB22211PCPBBC，1PBBC1BBABCD平面，1BBPB.又1BBBCB，PB平面11BCCB.20、解（1）证明：假设存在一个实数，使123,,aaa是等比数列，则有2213aaa,即,094949494)494()332(222矛盾.所以123,,aaa不成等比数列.（2）因为111121312112143nnnnnbanan22(1)(321)33nnnanb,又1(18)b,所以当18，10nbb，(n为正整数)，此时nb不是等比数列：当18时，10b，由上式可知0nb，∴123nnbb(n为正整数)，故当18时，数列nb是以18为首项，－32为公比的等比数列.21、解：（1）设PAx，CPA，DPB.依题意有1tanx，2tan6x.zyxPDOCBAD1C1B1A1由tantan，得126xx，解得2x，故点P应选在距A点2km处.（2）设PAx，CQA，DQB.依题意有1tanx，2tan6x，21266tantan[()]tan()126216xxxCQDxxxx令6tx，由06x，得612t，2261tan7462187418xtCQDxxtttt，747455274663tt，74127418183tt，当7427418180tt，所张的角为钝角，最大角当t=74，即746x时取得，故点Q应选在距A点746km处.22、解（1）1111113bacacbyabcabcabcabacbc，而6bacacbabacbc，当且仅当13abc时取到等号，则9y，即111yabc的最小值为9.（2）28281222121028212212212xxyxxxxxxxx，而10,2x，122282168212xxxx，当且仅当12228212xxxx，即110,62x时取到等号，则18y，所以函数1812yxx的最小值为18.（3）2221212231122312nnnaaaSaaaaaaaaaaaa22222221211223121211223112nnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa22221212231122221nnnaaaaaaaaaaaa当且仅当121naaan时取到等号，则12S.23、解：（1）由(1)(1)14ff得5)(5)14abab（，解得2a.从而2()25bfxxx，定义域为00（，）（，）当0b时，对于定义域内的任意x，有2()()25fxfxx，()fx为偶函数当0b时，(1)(1)140ff从而(1)(1)ff，()fx不是奇函数；(1)(1)20ffb，()fx不是偶函数，()fx非奇非偶.对于任意的3120.5xx，总有12()()0fxfx恒成立，即2212122525bbxxxx（）（）0，得1212122()0xxxxbxx.3120.5xx，2312(0.5)xx，31220.5xx，从而12122()2xxxx.又12122()bxxxx，2b，b的最小值等于2.（3）在（2）的条件下，22()25fxxx.当0x时，()0fx恒成立，函数()fx在0（，）无零点当0x时，对于任意的210xx，恒有212121121()()2()()0fxfxxxxxxx，即21()()fxfx，所以函数()fx在0（，+）上递增，又123()048f，(1)50f，()fx在114（，）是有一个零点q.综上()fx恰有一个零点q，且1(,1)4q…15分22()250fqqq，得3251qq，又473231n