上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(三)试题

华东师大二附中2015届暑期练习（三）数学试卷一、填空题(每小题4分,满分56分)1．已知集合},30{RxxxA，{12,}BxxxR，则BA．2．已知数列na是公差为2的等差数列，nS是na的前n项和，则limnnnSna=．3．函数2cossin()sin2cosxxfxxx的最小正周期为．4．某小组中有6名女同学和4名男同学，从中任意挑选3名同学组成环保志愿者宣传队，则这个宣传队由2名女同学和1名男同学组成的概率是（结果用分数表示）．5．已知圆柱M的底面直径与高均等于球O的直径，则圆柱M与球O的体积之比VV圆柱球：=．6．已知1e、2e是平面上两个不共线的单位向量，向量12aee，122bmee．若ab，则实数m=．7．二项式151()xx的展开式中系数最大的项是第项．8．已知直线1310lxy：，210lxty：，若直线1l与2l的夹角为60，则t=．9．已知1()yfx是函数()arcsin(1)fxx的反函数，则1()fx．10．阅读右边的程序框图，如果输出的函数值y在区间1[,1]4内，则输入的实数x的取值范围是x．11．若等差数列na的首项为1,a公差为d，前n项的和为nS，则数列{}nSn为等差数列，且通项为1(1)2nSdann．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{}nb的首项为1b，公比为q，前n项的积为nT，则．12．若集合,),(,325),3(1)3(),(MbayyyyxyxM且对M中其它元素),(dc，总有,ac则a．13．已知2()fxx，01211nxxxx，1|()()|,nnnafxfxnN，123nnSaaaa，则nS的最大值等于．14．平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(,)xy为整点，命题：①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线ykxb不经过任何整点；③如果k与b都是有理数，则直线ykxb必经过无穷多个整点；④如果直线l经过两个不同的整点，则l必经过无穷多个整点；⑤存在恰经过一个整点的直线；其中的真命题是（写出所有真命题编号）．二、选择题(每小题5分,共20分)15．在极坐标系中，圆C过极点，且圆心的极坐标是()2a，(0a)，则圆C的极坐标方程是（）A．2sina．B．2sina．C．2cosa．D．2cosa．16．已知||1,zzC:,|,ziazC：|．若是的充分非必要条件，则实数a的取值范围是（）A．1a．B．1a．C．2a．D．2a．17．若2002(0)xpyp，则称点00(,)xy在抛物线C：22(0)xpyp外．已知点()Pab，在抛物线C：22(0)xpyp外，则直线()laxpyb：与抛物线C的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不能确定18．在正方体AC1中，若点P在对角线AC1上，且P点到三条棱CD、A1D1、BB1的距离都相等，则这样的点共有（）A．1个．B．2个．C．3个．D．无穷多个．三．解答题（本大题满分74分）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分如图，直三棱柱111ABCABC的底面ABC是等腰直角三角形，1ABAC，侧棱1AA底面ABC，且12AA，E是BC的中点，F是1AC上的点．（1）求异面直线AE与1AC所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）若1EFAC，求线段CF的长．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知函数()22xxfxa()aR．（1）讨论函数()fx的奇偶性；（2）若函数()fx在(,2]上为减函数，求a的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分电视传媒为了解某市100万观众对足球节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．如图是根据调查结果绘制的观众每周平均收看足球节目时间的频率分布直方图，将每周平均收看足球节目时间不低于1.5小时的观众称为“足球迷”，并将其中每周平均收看足球节目时间不低于2.5小时的观众称为“铁杆足球迷”．（1）试估算该市“足球迷”的人数，并指出其中“铁杆足球迷”约为多少人；（2）该市要举办一场足球比赛，已知该市的足球场可容纳10万名观众．根据调查，如果票价定为100元/张，则非“足球迷”均不会到现场观看，而“足球迷”均愿意前往现场观看．如果票价提高10x元/张()xN，则“足球迷”中非“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少10%x，“铁杆足球迷”愿意前往观看的人数会减少100%11xx．问票价至少定为多少元/张时，才能使前往现场观看足球比赛的人数不超过10万人？00.5频率组距11.522.53小时0.160.520.440.720.060.1022．（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线12lx：的距离为1d，到点(10)F，的距离为2d，且2122dd．直线l与椭圆C交于不同两点A、B(A，B都在x轴上方)，且180OFAOFB．（1）求椭圆C的方程；（2）当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线l方程；（3）对于动直线l，是否存在一个定点，无论OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分若正项数列{}na满足条件：存在正整数k，使得nknnnkaaaa对一切,nNnk都成立，则称数列{}na为k级等比数列．（1）已知数列{}na为2级等比数列，且前四项分别为14,,2,13，求89aa的值；（2）若2sin()(6nnan为常数），且{}na是3级等比数列，求所有可能值的集合，并求取最小正值时数列{}na的前3n项和3nS；（3）证明：{}na为等比数列的充要条件是{}na既为2级等比数列，{}na也为3级等比数列．参考答案一、填空题1．}31{xx2．123．4．12．5．3：26．27．98．0或39．1sin[,]22xx10．[2,0]11．数列{}nnT为等比数列，且通项为11()nnnTbq．12．9413．214．①④⑤二选择题15．B16．C17．A18.D三、解答题19.（本题12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．解：（1）取11BC的中点1E，连11AE，则11//AEAE，即11CAE即为异面直线AE与1AC所成的角．…………（2分）连1EC.在11RtECC中，由1122EC，12CC知1132422AC在11RtACC中，由111AC，12CC知15AC……（4分）在11AEC中，222232()(5)()11022cos10210252∴10arccos10…………（6分）（2）以A为原点，建立如图空间直角坐标系，设CF的长为x则各点的坐标为，11(,,0)22E，525(0,1,)55Fxx，1(0,0,2)A，(0,1,0)C……（2分）∴11525(,,)2255EFxx，1(0,1,2)AC由1EFAC知10EFAC…………（4分）即152520255xx，解得510x∴线段CF的长为510…………（6分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．解：（1）()22xxfxa…………（1分）若()fx为偶函数，则对任意的xR，都有()()fxfx，即2222xxxxaa，2(1)2(1)xxaa，(22)(1)0xxa对任意的xR都成立。由于22xx不恒等于0，故有10a，即1a∴当1a时，()fx是偶函数。…………（4分）若()fx为奇函数，则对任意的xR，都有()()fxfx，即22220xxxxaa，(22)(1)0xxa对任意的xR都成立。由于22xx不恒等于0，故有10a，即1a∴当1a时，()fx是奇函数。…（6分）∴当1a时，()fx是奇函数；当1a时，()fx是偶函数；当1a时，()fx是非奇非偶函数。…………（7分）（2）因函数()fx在(,2]上为减函数，故对任意的122xx，都有12()()0fxfx，…………（2分）即12()()fxfx1212(22)(1)022xxxxa恒成立。…（4分）由12220xx，知121022xxa恒成立，即1222xxa恒成立。由于当122xx时12max(22)4xx…………（6分）∴4a…………（7分）21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．解：（1）样本中“足球迷”出现的频率=(0.160.100.06)0.516%…………（2分）“足球迷”的人数=10016%16（万）…………（4分）“铁杆足球迷”=100(0.060.5)3（万）所以16万“足球迷”中，“铁杆足球迷”约有3万人.…………（6分）（2）设票价为10010x元，则一般“足球迷”中约有13(110%)x万人，“铁杆足球迷”约有1003(1%)11xx万人去现场看球.…………（3分）令10013313(110%)3(1%)1610111011xxxxxx…………（5分）化简得：2131136600xx解得：165,413xx或，由xN，4x……（7分）即平均票价至少定为100+40=140元，才能使前往现场观看足球比赛的“足球迷”不超过10万人.…………（8分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．解：解：（1）设(,)Pxy，则2212|2|,(1)dxdxy，……………………（2分）2221(1)2|2|2xyddx化简得：2212xy椭圆C的方程为：2212xy…………（4分）（2）(0,1),(1,0)AF1010(1)AFk，180OFAOFB1BFk，:1(1)1BFyxx…………（3分）代入2212xy得：2340xx，40,3xx或，代入1yx得403()113xxyy舍，或，41(,)33B…………（5分）11113,:14220()3ABkAByx，…………（6分）（3）解法一：由于180OFAOFB，0AFBFkk。…………（1分）设1122(,),(,)AxyBxy设直线AB方程：ykxb，代入2212xy得：2221()2102kxkbxb…………（3分）212122221,1122kbbxxxxkk12121221121212()(1)()(1)01111(1)(1)AFBFyykxbkxbkxbxkxbxkkxxxxxx12211212222()(1)()(1)2()()2122()201122kxbxkxbxkxxkbxxbbkbkkbbkk20bk，…………（5分）直线AB方程：(2)ykx直线l总经过定点(2,0)M…………（6分）解法二：由于180OFAOFB，所以B关于x轴的对称点1B在直线AF上。设1122122(,),