带电粒子在电场中的运动

第13单元：带电粒子在匀强电场中的运动一、教法建议抛砖引玉这是一个以培养能力为主要目的单元。处理问题所需的知识都在本章第一单元和前几章的力学单元中学习过了，关键是怎样把学过的知识有机地组织起来，这就需要具有分析与综合的能力。本单元讲授的内容有下列两项，教法如下：1．带电粒子的加速如图6-20所示：在一对带电平行金属板所形成的匀强电场中，两板间的电压为U、电场强度为E。如果图中的带正电或带负电的粒子的初速为零，就会在电场力的作用下作匀加速直线运动。（注：忽略带电粒子所受重力的影响才作直线运动。若不能忽略重力影响，则带电粒子将作向下方偏移的曲线运动。）处理这类问题有两种方法。第一种方法和基本思路如下：F=QEF=ma然后再根据问题要求，选用匀变速运动公式。（注：上式中的q和m为带电粒子的电量和质量。）第二种方法的基本思路如下：W=qUΔEk=2221021mvqUmv2．带电粒子的偏转如图6-21之（1）、（2）、（3）、（4）所示：在真空中水平放置的一对带电金属板，两板间的电压为U、距离为d。若带电粒子以水平方向或斜向以初速v0射入平行金属板的电场中，则会发生偏转，其运动形式和性质与平抛、斜抛运动相似。处理这种问题的基本思路如下：F=maF=QEmdqUamadUqE=dU然后再根据类似平抛运动的公式求解：x=v0ty=221atQE=ma→amdqU图6-20图6-21注1．上式与平抛运动不同的是a不是q而是上面的a=mdqU。注2．忽略了带电粒子所受重力的影响。注3．若属于斜射的问题不能按上式计算，需采用类似斜抛运动的公式求解。但是由于在力学中“斜抛物体的运动”已被列为选学（*），而且定量计算的要求不高，所以在“带电粒子的偏转”问题中对斜射问题也不作较高要求了。指点迷津1．为什么在解答“带电粒子在匀强电场中运动”的问题时，一般都可以忽略带电粒子所受的重力？“带电粒子”一般是指电子、质子及其某些离子或原子核等微观的带电体，它们的质量都很小，例如：电子的质量仅为0.91×10-30千克、质子的质量也只有1.67×10-27千克。（有些离子和原子核的质量虽比电子、质子的质量大一些，但从“数量级”上来盾，仍然是很小的。）如果近似地取g=10米/秒2，则电子所受的重力也仅仅是meg=0.91×10-30×10=0.91×10-29(牛)。但是电子的电量都为q=1.60×10-19库（虽然也很小，但相对而言10-19比10-30就大了10-11倍），如果一个电子处于E=1.0×104牛/库的匀强电场中（此电场的场强并不很大），那这个电子所受的电场力F=qE=1.60×10-19×1.0×104=1.6×10-15（牛），看起来虽然也很小，但是比起前面算出的重力就大多了（从“数量级”比较，电场力比重力大了1014倍），由此可知：电子在不很强的匀强电场中，它所受的电场力也远大于它所受的重力——qEmeg。所以在处理微观带电粒子在匀强电场中运动的问题时，一般都可忽略重力的影响。但是要特别注意：有时研究的问题不是微观带电粒子，而是宏观带电物体，那就不允许忽略重力影响了。例如：一个质量为1毫克的宏观颗粒，变换单位后是1×10-6千克，它所受的重力约为mg=1×10-6×10=1×10-5（牛），有可能比它所受的电场力还大，因此就不能再忽略重力的影响了。（说明：这类问题也属本章范围）2．带电粒子在匀强电场中的运动，是一种什么性质的物理问题？解答这种问题经常运用哪些物理知识和规律？带电粒子在匀强电场中的运动，是一种力电综合问题。解答这种问题经常运用电场和力学两方面的知识和规律，具体内容如下：所需电场的知识和规律有：EqF→F=qE；W=qU；EdU；电力线的性质和分布；等势面的概念和分布：电势、电势差、电势能……所需力学的知识和规律有：牛顿第二运动定律F=ma；动能定理W=ΔEk；动能和重力势能的概念和性质；能的转化和守恒定律；匀变速直线运动的规律；匀变速直线运动的规律；平势物体运动的规律（目前涉及/斜抛运动的定量问题要求得不多）解答“带电粒子在匀强电场中运动”的问题，既需要掌握较多的物理知识，又需要具有一定的分析综合能力。附带提到一点，有些是带电粒子在非匀强电场中运动的问题，也属于本单元的讨论范围，不过这种问题对中学生要求不高，也就是说不会有难度过大的问题。二、学海导航思维基础例题1.下列几种说法中，哪种说法是正确的？（A）电场中电力线上每一点的切线方向都跟点的场强方向一致。（B）沿电力线方向，场强一定越来越小。（C）沿电力线方向，电势一定越来越低。（D）在电场力作用下，正电荷一定以电势高的地方向电势低的地方移动。（E）在电场力作用下，负电荷一定以电势高的地方向电势低的地方移动。答：（）思维基础：本题既能检查基础知识的掌握情况，又能启发和培养周密思考的习惯，这对中学生是十分有益的。解答本题需要熟知以下几方面的知识。1．电力线的概念和性质。2．电力线的方向与场强变化的关系——对于正点电荷形成的电场，沿电力线方向，场强越来越小；对于负点电荷形成的电场，沿电力线方向，场强越来越大；对于一对分别带等量正电和负电的平行金属板间形成的匀强电场，各处场强的大小和方向都相等。（各种情况不同。）3．电力线的方向与电势变化的关系——沿着电力线的方向，电势越来越低。（此性质是唯一的，不受场源的正、负影响）4．掌握物体在力的作用下的各种情况——如果物体原来是静止的，在动力（一个力或合力不为零）作用下应沿着力的方向运动；如果物体原来是运动着的（有初速度），则需看动力与初速度的方向而定；既可能加速，也可能减速，既可能直线，也可能曲线。（各种情况不同）解题思路：1．根据电力线的性质，可知（A）是正确的。2．根据电力线的方向与电势变化的关系，可知（C）是正确的。3．在前面“思维基础”的第2条中，我们已经分析说明了——在不同场源所形成的电场中场强的变化情况是各不相同的，因此（B）的那种说法——不考虑场源的差别，而一律都认为“沿电力线方向，场强一定越来越小。”显然是不正确的（至少是不全面的）。4．在本题中，最易一误选的是（D）和（E），这是由于粗心大意，思维不周密造成的。在既不知场源的性质、也不知电荷初速度的大小和方向的情况下，就要作出一定的结论，显然是不可能的。答案：（A、C）例题2.下列粒子从初速度为零的状态经过加速电压为U的电场之后，哪种粒子的速度最大？（A）a粒子（B）氚核（C）质子（D）钠离子aN思维基础：解答本题需要把带电粒子在电场中加速的知识与高二学过的原子核知识联系起来。1．本题已知电场的加速电压为U，要判断的是粒子被加速后的速度v的大小，因此采用221mvqU分析问题比较方便。2．若以mp表示质子N11的质量、以e表示质子的电量，则根据高二所学过的原子核知识可知——a粒子He42的质量应为4mp、电量应为2e；氚核H31的质量应为、电量应为e；钠离子Na的质量比其它三种粒子的质量都大（由于是选择判断题，对此未记质量数也无妨）、电量应为e。解题思路：1．根据221mvgU可以导出下式mqUv2由于可知：对于各种粒子来说，加速电压U都是相同的。因此v与q成正比；v与m成反比。因为质子和钠离子所带的电量相同，而钠离子的质量却比质子大得多，所以可断定——电场加速后的质子速度应比钠离子大得多。因此选项（D）首先被淘大。2．为了严格和慎重起见，我们对被加速后的a粒子、氚核、质子的速度进行下列推导：对于a粒子——质量为4mp、电量为2epaameUmpeUmUqva4222对于氚核——质量为3mp、电量为eppmeUmeUv3232氚对于质子——质量为mp电量为epppmeUmeUv22从比较推导的结果中知：质子的速度VP最大。答案：（C）学法指要例题3.在图6-22中a、b和c表示点电荷a的电场中的三个等势面，它们的电势分别为U、32U、41U。一带电粒子从等势面a上某处由静止释放后，仅受电场力作用而运动，已知它经过等势面b时的速率为v，则它经过等势面c的速率为。启发性问题：图6-221．在本题中的场源点电荷Q是带正电的还是带负电的？2．原来处于静止状态的带电粒子，若仅受电场力作用，则应作什么性质的运动？运动的方向如何？3．解答本题，你认为应当选用哪个关系式？分析与说明：1．已知a、b、c三点的电势的大小关系为U32U41根据“电力线的方向总是由电势高的等势面指向电势低的等势面”的性质，可分析出本题中的电力线方向是由场源点电荷Q为中心向四外放射的，而这样分布电力线的场源点电荷应当是带正电的。2．原来处于静止状态的带电粒子，若仅受电场力作用应作加速运动。应沿着电力线的方向由电势高处向电势低处运动。附注：前面所说的加速运动不一定是匀加速运动。只有在匀强电场中带电粒子才会作匀加速运动。在非匀强电场中（例如在点电荷场源的电场中）由于各处的电场强度不同，电荷所受的电场力的大小是变化的，所以加速度的大小也是变化的。3．解答本题选用的主要关系式为：mvmvqUbaab222121式中Uab两等势面的电势差，va、vb为带电粒子经过时a、b等势面时的速率。（对于b、c两等势面也存在同样形式的关系式。）求解过程：设：带电粒子的电量为q；a、b两等势面的电势差为Uab、b、c两等势面的电势差Ubc；带电粒子经过等势面a、b、c时的速率分别为Ua、Ub、Uc。（已知：Ua=0，Ub=v）则：mvmvqUbbab222121①mvmvqUbcbc222121②将①、②两式相除可得：vvvvUUbcabbcab2222③将UUUUab3132、UUUUbC1254132、0aU、vUb代入③式：vvvvvvvvvvvUUvvvvaaaa5.12349945445401253120222222222222答案：带电粒子经过等势面c的速度为1.5v。思维体操例题4.如图6-23所示：在方向水平向右的匀强电场中，一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带正电的小球，另一端固定于O点。把小球拉起至细线与场强平行，然后无初速解放。已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为θ。求：小球经过最低点时细线对小球的拉力。“准备活动”（解题所需的知识与技能）：1．在本题中，小球摆动的过程是电荷克服电场力做功（电场力做负功）的过程——重力势能减少，电势能增加。根据能的转化和守恒定律可知：重力势能的减少量等于电势能的增加量。（说明：本题是宏观小球，重力不能忽略。）2．重力对物体所做的功只跟起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。而且重力所做的功等于物体重力势能的变化。根据这种性质，在本题中若设细线长度为l，则小球从释放点到左侧最高点重力势能的减少量应该等于mglcosθ。3．电场力对电荷所做的功只跟起点和终点的终点的位置有关，而跟电荷运动的路径无关。而且电场力所做的功等于电荷的电势能的变化。根据这种性质，在本题中若设小球所带电量为q、场强为E，则小球从释放点到左侧最高点电势能的增加量应该等于qEl(1+sinθ)。（请读者根据W=qU、U=Ed、d=1+lsinθ推导出上面的结果，这是不困难的。）4．小球摆动的过程中，重力做正功（重力势能减少）；电场力做负功（电势能增加），因此正功与负功的代数和（即算术差）应当等于小球增加的动能。若设小球运动到最低点时的速度为v，则其数学关系为221mvqElmgl。5．在解答本题时，还需使用圆周运动的向心力关系式，若设小球经过最低点时细线对小球的拉力为T，则应有：lvmmgT2。“体操表演”（解题的过程）：在前面的“准备活动”中我们已作了充分的准备，下面只需把准备好的各个关系式联立起来，就可求解了。)sin1(cosqElmgl①图6-23221mvqElmgl②lvmmgT2③由②式可以导出：qElmvmgl221④将④、③两式相除可得：