上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编：圆锥曲线

上海市各区2014届高三数学（理科）一模试题分类汇编圆锥曲线2014.01.26（杨浦区2014届高三1月一模，理）5．双曲线2221(0)yxbb的一条渐近线方程为3yx，则b________.5.3；（嘉定区2014届高三1月一模，理）7．已知双曲线12222byax（0a，0b）满足021ba，且双曲线的右焦点与抛物线xy342的焦点重合，则该双曲线的方程为______________．7．1222yx（普陀区2014届高三1月一模，理）7.已知椭圆13422yx的左、右两个焦点分别为1F、2F，若经过1F的直线l与椭圆相交于A、B两点，则△2ABF的周长等于.7.8；（徐汇区2014届高三1月一模，理）9.双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则m=.（虹口区2014届高三1月一模，理）5、双曲线19422yx的焦点到渐近线的距离等于．5.12（普陀区2014届高三1月一模，理）19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知点)0,2(P，点Q在曲线Cxy22上.（1）若点Q在第一象限内，且2||PQ，求点Q的坐标；（2）求||PQ的最小值.19.（本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设),(yxQ（0,0yx）,xy22（1）由已知条件得2)2(||22yxPQ…………………………2分将xy22代入上式，并变形得，022xx，解得0x（舍去）或2x……………4分当2x时，2y只有2,2yx满足条件，所以点Q的坐标为)2,2(………………6分（2）||PQ22)2(yx其中xy22…………………………7分422)2(||222xxxxPQ3)1(2x（0x）…………10分当1x时，3||minPQ……………………………………12分（不指出0x，扣1分）（杨浦区2014届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC、BD是过抛物线焦点F的两条弦，且其焦点)1,0(F，0BDAC，点E为y轴上一点，记EFA，其中为锐角．(1)求抛物线方程；(2)如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求的大小？21.【解】理科（1）由抛物线焦点)1,0(F得,抛物线方程为yx42……5分（2）设mAF，则点)1cos,sin(mmA……6分所以，)cos1(4)sin(2mm，既04cos4sin22mm……7分解得2sin)1(cos2AF……8分同理：2cos)sin1(2BF……9分2cos)sin1(2DF……10分2sin)cos1(2CF……11分“蝴蝶形图案”的面积2)cos(sincossin442121DFCFBFAFSSSCFDAFB令21,0,cossintt,,21t……12分则121141422tttS,21t时,即4“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（杨浦区2014届高三1月一模，理）22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分10分，第①问5分,第②问5分，第（2）小题满分6分.已知椭圆：2214xy.(1)椭圆的短轴端点分别为BA,(如图)，直线BMAM,分别与椭圆交于FE,两点，其中点21,mM满足0m，且3m.①证明直线FE与y轴交点的位置与m无关；②若∆BME面积是∆AMF面积的5倍，求m的值；(2)若圆:422yx.21,ll是过点)1,0(P的两条互相垂直的直线,其中1l交圆于T、R两点,2l交椭圆于另一点Q.求TRQ面积取最大值时直线1l的方程.22.【解】理科解：（1）①因为)1,0(),1,0(BA,M(m,12)，且0m，直线AM的斜率为k1=m21,直线BM斜率为k2=m23,直线AM的方程为y=121xm,直线BM的方程为y=123xm,……2分由,121,1422xmyyx得22140mxmx，240,,1mxxm22241,,11mmEmm由,123,1422xmyyx得229120mxmx，2120,,9mxxm222129,99mmFmm；……4分据已知，20,3mm，直线EF的斜率22222222219(3)(3)194124(3)19mmmmmmkmmmmmm23,4mm直线EF的方程为2222134141mmmyxmmm,令x=0,得,2yEF与y轴交点的位置与m无关.……5分②1||||sin2AMFSMAMFAMF,1||||sin2BMESMBMEBME,AMFBME,5AMFBMESS,5||||||||MAMFMBME，5||||||||MAMBMEMF,……7分225,41219mmmmmmmm0m，整理方程得22115119mm，即22(3)(1)0mm，又有3m，230m，12m，1m为所求.……10分(2)因为直线12ll,且都过点(0,1)P,所以设直线1:110lykxkxy,直线21:10lyxxkykk,……12分所以圆心(0,0)到直线1:110lykxkxy的距离为211dk,所以直线1l被圆224xy所截的弦222143242kkdTR；由22222048014xkykkxxkxxy,所以482kkxxPQ所以418)4(64)11(222222kkkkkQP……14分所以13131613232341334324348212222kkkkTRQPSTRQ当22213510432243kkkk时等号成立,此时直线110:12lyx……16分（浦东新区2014届高三1月一模，理）21、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，设31(,)22A是单位圆上一点，一个动点从点A出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.2秒时，动点到达点B，t秒时动点到达点P.设(,)Pxy，其纵坐标满足()sin()()22yftt.（1）求点B的坐标，并求()ft；（2）若06t，求APAB的取值范围.yAOx21、解:(1)当2t时，22123AOB，所以2XOB所以，点B的坐标是（0，1）……………………………………………………2分又t秒时，66XOPt………………………………………………………4分sin,(0)66ytt.…………………………………………………………6分（2）由31,22A，(0,1)B，得31,22AB，又cos,sin6666Ptt，31cos,sin662662APtt，…………………………8分3311cossin42664266APABtt1sin2663t1sin266t………………………………10分06t，5,6666t，1sin,1662t…………12分所以，APAB的取值范围是30,2………………………………14分（嘉定区2014届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点23,1在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作方向向量)1,2(d的直线l交椭圆C于A、B两点，求证：22||||PBPA为定值．21．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为C的焦点在x轴上且长轴为4，故可设椭圆C的方程为14222byx（0ba），……………………………（1分）因为点23,1在椭圆C上，所以143412b，…………………………（2分）解得12b，…………（1分）所以，椭圆C的方程为1422yx．…………………………………（2分）（2）设)0,(mP（22m），由已知，直线l的方程是2mxy，……（1分）由,14,)(2122yxmxy042222mmxx（*）………………………（2分）设),(11yxA，),(22yxB，则1x、2x是方程（*）的两个根，所以有，,22mxx24221mxx，……………………………………（1分）所以，2222212122)()(||||ymxymxPBPA])()[(45)(41)()(41)(222122222121mxmxmxmxmxmx]22)(2)[(45]2)(2[45221212212212221mxxxxmxxmxxmxx5]2)4(2[452222mmmm（定值）．………………………………（3分）所以，22||||PBPA为定值．……………………………………………………（1分）（写到倒数第2行，最后1分可不扣）（徐汇区2014届高三1月一模，理）22.（本题满分16分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题7分）给定椭圆2222:10xyCabab，称圆心在坐标原点O，半径为22ab的圆是椭圆C的“伴随圆”，已知椭圆C的两个焦点分别是122,0,2,0FF.（1）若椭圆C上一动点1M满足11124MFMF，求椭圆C及其“伴随圆”的方程；（2）在（1）的条件下，过点0,0Ptt作直线l与椭圆C只有一个交点，且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为23，求P点的坐标；（3）已知cos3,,0,sinsinmnmnmn，是否存在a，b，使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点22,,,mmnn的直线的最短距离22mindabb.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.