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2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为．5．等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，若S6=9S3，则a6=．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型ABABO该血型的人所占的比例2829835已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=，展开式中的常数项为．（用数字作答）11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为．12．已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有个．13．对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[﹣0.25]=﹣1．若存在实数t，使得[t]=1，[t2]=2，[t3]=3…[tt]=n同时成立，则正整数n的最大值为．14．已知△A1B1C1的三内角余弦值分别等于△A2B2C2三内角的正弦值，那么两个三角形六个内角中的最大值为．二、选择题15.设z1、z2∈C，则“z1•z是实数”是“z1、z2互为共轭”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．数0，1，2，3，4，5，…按以下规律排列：…，则从2013到2016四数之间的位置图形为（）A．B．C．D．17．设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（）A．﹣1B．1C．2D．418．记椭圆围成的区域（含边界）为Ωn（n=1，2，…），当点（x，y）分别在Ω1，Ω2，…上时，x+y的最大值分别是M1，M2，…，则Mn=（）A．0B．C．2D．2三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AB=AC=2，四棱锥C﹣ABB1A1的体积等于4．（1）求AA1的值；（2）求C1到平面A1B1C的距离．20．已知，且．（1）求cos2θ与的值；（2）若，求ϕ的值．21．已知圆，点P在圆外，过点P作圆C的两条切线，切点分别为T1，T2．（1）若，求点P的轨迹方程；（2）设，点P在平面上构成的图形为M，求M的面积．22．对于数列{an}，若an+2﹣an=d（d是与n无关的常数，n∈N*），则称数列{an}叫做“弱等差数列”，已知数列{an}满足：a1=t，a2=s且an+an+1=an+b对于n∈N*恒成立，（其中t，s，a，b都是常数）．（1）求证：数列{an}是“弱等差数列”，并求出数列{an}的通项公式；（2）当t=1，s=3时，若数列{an}是等差数列，求出a、b的值，并求出{an}的前n项和Sn；（3）若s＞t，且数列{an}是单调递增数列，求a的取值范围．23．若实数x、y、m满足|x﹣m|＜|y﹣m|，则称x比y接近m．（1）若2x比1接近3，求x的取值范围；（2）已知函数f（x）定义域D=（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，3）∪（3，+∞），对于任意的x∈D，f（x）等于x2﹣2x与x中接近0的那个值，写出函数f（x）的解析式，若关于x的方程f（x）﹣a=0有两个不同的实数根，求出a的取值范围；（3）已知a，b∈R，m＞0且a≠b，求证：比接近0．2015-2016学年上海市格致中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题4分，满分56分）1．集合A={x|ax﹣3=0，a∈Z}，若A⊊N*，则a形成的集合为{0，1，3}．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】化简A，利用A⊊N*，可得a形成的集合．【解答】解：a=0，A=∅，满足题意；a≠0，A={x|ax﹣3=0，a∈Z}={}，x=1时，a=3；x=3时，a=1，故答案为：{0，1，3}．【点评】本题考查集合的关系，考查学生的计算能力，比较基础．2．过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为x﹣2y+3=0．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，由此能求出过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线2x+y=0垂直的直线方程的斜率k=，∴过点P（1，2）与直线2x+y=0垂直的直线方程为：y﹣2=（x﹣1），整理，得x﹣2y+3=0．故答案为：x﹣2y+3=0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与直线垂直的性质的合理运用．3．已知函数的最小正周期为π，则方程f（x）=1在（0，π]上的解集为{，}．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值．【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：sin（2x+）=，由x∈（0，π]，可得2x+∈（，]，从而解得f（x）=1在（0，π]上的解集．【解答】解：∵由题意可得：=π，解得：ω=2，∴f（x）=2sin（2x+）=1，可解得：sin（2x+）=，∵x∈（0，π]，∴2x+∈（，]，∴2x+=或，即：x={，}．故答案为：{，}．【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题．4．关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．【考点】二阶行列式的定义．【专题】计算题；转化思想；定义法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开法则得x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵的解集为R，∴x2﹣2x﹣a＞0的解集为a，∴△=4+4a＜0，解得a＜﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开法则的合理运用．5．等比数列{an}的首项a1=1，前n项的和为Sn，若S6=9S3，则a6=32．【考点】等比数列的性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等比数列的前n项和公式求出公比q，由此能求出a6的值．【解答】解：∵{an}是首项为1的等比数列，Sn为{an}的前n项和，S6=9S3，∴=9×，解得q=2，∴a6=25=32．故答案为：32．【点评】本题考查等比数列的第6项的求法，是基础题，确定q是关键．6．据统计，黄种人人群中各种血型的人所占的比例见表：血型ABABO该血型的人所占的比例2829835已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任一种血型的人输血，AB型血的人可以接受任何一种血型的血，其他不同血型的人不能互相输血，某人是B型血，若他因病痛要输血，问在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率为0.64．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由已知得B、O型血可以输给B型血的人，根据互斥事件的概率加法公式，能求出在黄种人群中人找一个人，其血可以输给此人的概率．【解答】解：对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的，由已知得：P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35，∵B、O型血可以输给B型血的人，∴“可以输血给小明”为事件B′∪D′，根据互斥事件的概率加法公式，有P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64，∴任找一个人，其血可以输给小明的概率为0.64．故答案为：0.64．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件的概率加法公式的合理运用．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．【解答】解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．8．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则其左视图面积为3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出该三棱锥的直观图，利用图中数据，求出它的侧视图面积．【解答】解：根据题意，得：该三棱锥的直观图如图所示，∴该三棱锥的左视图是底面边长为2，对应边上的高为3的三角形，它的面积为×2×3=3．故答案为：3．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出三棱锥的直观图，是基础题目．9．双曲线的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，且焦点到其渐近线的距离为1，则此双曲线的实轴长2．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离为1列式，再结合隐含条件求解．【解答】解：如图，由抛物线方程y2=8x，得抛物线的焦点坐标F（2，0），即双曲线的右焦点坐标为F（2，0），双曲线的渐近线方程为．不妨取y=，化为一般式：bx﹣ay=0．则，即4b2=a2+b2，又a2=4﹣b2，联立解得：a2=3，∴a=．则双曲线的实轴长为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．10．若的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n=6，展开式中的常数项为15．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【专题】二项式定理．【分析】首先由二项式系数的性质列式求得n值，再写出二项展开式的通项并整理，由x得指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由题意知：2n=64，即n=6；则，由．令3﹣，得r=2．∴展开式中的常数项为．故答案为：6；15．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．函数f﹣1（x）是函数f（x）=2x﹣3+x，x∈[3，5]的反函数，则函数y=f（x）+f﹣1（x）的定义域为[4，5]．【考点】反函数．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先确定函数f（x）的单调性，由此确定其值域，该值域就是其反函数的定义域，最后再求y=f（x）+f﹣1（x）的定义域．【解答】解：因为f（x）=2x﹣3+x是定义域上的增函数，所以，当x∈[3，5]时，f（x）∈[f（3），f（5）]，即f（x）∈[4，9]，由于反函数f﹣1（x）的定义域是原函数f（x）的值域，所以，f﹣1（x）的定义